¿De cuántas maneras distintas de expresar la solución de trig-integrales como $\int \sec x \tan x \, dx$?

Question

Siempre estoy sorprendido por el número de formas equivalentes de expresión trigonométrica y me pregunto ¿cuántas maneras hay para resolver las integrales como $$\int \sec x \tan x \, dx$$ Yo uso la equivalencia que se siente intuitivo para mí, $$\int \sec x \tan x \, dx \, = \, \int \left(\frac 1{\cos x}\right)\left(\frac {\sin x}{\cos x}\right)\,dx$$ $$=\, \int \frac{\sin x}{\cos^2x}\,dx \,=\, \int \sec^2x \sin x \, dx$$ a continuación, use integración por partes, $$\int \sec^2x \sin x \, dx \,=\, \sin x \tan x - \int \cos x \tan x \, dx$$ De nuevo yo uso lo que se siente intuitivo y sustituto $\int \cos x \tan x \, dx$ $$\int \cos x\left( \frac {\sin x}{\cos x}\right) \, dx = \int \sin x \, dx \,=\, -\cos x$$ Por lo tanto, $$\int \sec x \tan x \, dx = \int \sec^2x \sin x \, dx \,=\, \sin x \tan x + \cos x +C$$ De ahí que yo trate de encontrar formas equivalentes (omitiré la escritura de la arbitraria constante cada vez), así que se me pone por ejemplo

1. $$\sin x \tan x + \cos x = \sin x \left(\frac {\sin x}{\cos x}\right) + \cos x = \frac {\sin^2x}{\cos x}+\cos x$$
2. $$\frac {\sin^2x}{\cos x}+\cos x \left(\frac {\cos x}{\cos x}\right)= \frac {\cos^2x + \sin^2x}{\cos x} = \frac 1{\cos x} = \sec x$$
3. $$\frac {\sin^2x}{\cos x}+\cos x \,=\, \frac 12 \left(\frac {1-\cos {2x}}{\cos x} \right) + \cos x \,=\, \frac 1{2\cos x} - \frac {\cos {2x}\sec x}2 + \cos x$$

A mí me parece que siempre podría multiplicar un factor de $ 1= \left(\frac {trig-expression}{trig-expression}\right)$ a de cualquier resultado y encontrar una expresión equivalente, de mayor o menor complejidad de la expresión original.

Por lo tanto, sólo teniendo en cuenta las funciones racionales, me pregunto si la sustitución de "juego" puede ser jugado $ad\;infinitum$, o hay estrictamente un número finito de formas equivalentes o formas de expresar los resultados implican trig-expresiones? En el caso de que el número es finito, puede ser calculada?

Answer 1

Camino corto de $$\int \sec x\tan x\, dx=-\int \frac { d\left( \cos { x } \right) }{ \cos ^{ 2 }{ x } } =\frac { 1 }{ \cos { x } } +C$$

Answer 2

Sólo para agregar a su lista, intente usando el bien conocido sustitución de $t=\tan\frac 12x$

La integral se convierte en $$\int \frac{4t}{(1-t^2)^2}dt=\frac{2}{1-t^2}+c$$

Este es el mismo como sus respuestas modulo constante

Answer 3

Usted puede agregar siempre $\sin^2 x+\cos ^2x-1$ y el valor no cambia. También teniendo en cuenta la fórmula $$\sin(n\theta)=\sum_{\text{k is odd}}(-1)^{(k-1)/2}{n\choose k}\cos^{n-k}\theta \sin^k\theta $$ Tomando $\theta=\frac{x}{n}$ uno puede obtener un número infinito de representaciones para $\sin x$,que está presente en la solución(no hay una fórmula para $\cos$ también).Presumiblemente, por medio de la sustitución(s) como $\sin(x/n)=t$ se podría llegar a formas similares de la integral para cada entero $n$.

Answer 4

Ningún resultado cuando trajo a su más simple trigonométricas formulario debe ser $ \sec x +c.$