Suma es igual a la integral

Question

Es un hecho bien conocido que: $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$$ también el valor de los relacionados con la serie es muy similar: $$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n} = \frac{\pi - 1}{2}$$ La combinación de estas dos identidades y el uso de ${\rm sinc}$ función obtenemos: $$\int_{-\infty}^{+\infty} {\rm sinc}\, x \, dx = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm sinc}\, n = \pi$$ Lo que es más interesante es el hecho de que la igualdad: $$\int_{-\infty}^{+\infty} {\rm sinc}^k\, x \, dx = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm sinc}^k\, n$$ tiene por $k = 1,2,\ldots, 6$. Hay algunas otras buenas identidades con ${\rm sinc}$ donde la suma es igual a la integral, pero de pasar a otras funciones que tienen, por ejemplo: $$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} e^{int} = \int_{-\infty}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} e^{itx} \, dx = (1+e^{it})^\alpha, \; \alpha >-1$$, que es debido a Pollard & Shisha.

Y, finalmente, la identidad que se relaciona con el famoso estudiante de Segundo año del Sueño: $$\int_0^1 \frac{dx}{x^x} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^n}$$ Por desgracia, en este caso la suma de la gama no es ni cerca el intervalo de integración.

¿Conoces alguna otra interesante identidades que muestran que la "suma = integral"?

Answer 1

Varios trabajos están dedicados al tema de las integrales de las funciones que ser igual a la suma de la misma función, principalmente para efectos de las estimaciones.

Boas y Pollard (1973) tiene algunas interesantes suma integral de las igualdades:

$$\pi/\alpha=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sin^2 (c+n)\alpha}{(c+n)^2}=\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 (c+n)\alpha}{(c+n)^2}\, \text{d}n$$

$$\pi\operatorname{sgn} a=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sin (n+c)\alpha}{n+c}=\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin (n+c)\alpha}{n+c}\, \text{d}n$$

También da varias fórmulas para las funciones que suficiente:

$$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\int_{-\infty}^\infty f(n) \, \text{d}n$$

principalmente con el análisis de Fourier.

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Este documento da una igualdad con el de Bessel J función:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{J_y (at) J_y(bt)}{t}\, \text{d}t=\sum_{t=-\infty}^\infty \frac{J_y (at) J_y(bt)}{t}$$

y un poco más de referencias:

Ha habido un número de estudios de este tipo de suma integral la igualdad por parte de varios grupos, por ejemplo, Krishnan Y Bhatia en el De la década de 1940 (Bhatia Y Krishnan 1948; Krishnan 1948a,b; Simón, 2002) y Boas, Pollard & Shisha en la década de 1970 (Boas & Stutz 1971; Pollard & Shisha 1972; Boas & Pollard, 1973).

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Véase también Sorprendente Sinc Sumas e Integrales , que tiene algunas otras igualdades. Este documento también se señala que (parafraseando)

Si $G$ es de variación acotada en $[−\delta, \delta]$, se desvanece fuera de $(−α, α)$, es Lebesgue integrable sobre $(−α, α)$ $0 < α < 2\pi$ y tiene una transformada de Fourier de $g$, luego

$$\sum_{n=\infty}^\infty g(n)=\int_{-\infty}^\infty g(x)\, \text{d}x+\sqrt{\frac{\pi}{2}}(G(0-)+G(0+))$$

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Ramanujan del segundo cuaderno perdido contiene algunas sumas de funciones que la igualdad de la integral de sus funciones (Capítulo 14, entradas 5(i), 5(ii), 16(i), 16(ii)).

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Si quieres, para más referencias, con ejemplos en los papeles que he mencionado.