Tenga en cuenta que un campo vectorial $X$ es de conformación si y sólo si hay alguna función $\Lambda$ tal que $\nabla X - \Lambda g$ es sesgar-simétrica. (A lo largo de esta respuesta estoy identificando $TM$ $T^* M$ por la subida y bajada de los índices implícitamente con $g$ - por ejemplo, aquí me refiero realmente a $\nabla X^\flat - \Lambda g.$) Deje $K$ denotar este sesgo tensor, por lo que tenemos $$\nabla X = K + \Lambda g.$$
La idea de la prolongación es recorrer en este proceso: ahora podemos diferenciar $K$$\Lambda$, introducir nuevas variables (como hicimos con $K$$\Lambda$) para cualquier incógnitas, y repetir hasta que el sistema se cierra, lo que significa que se puede escribir la derivada covariante de cada una de nuestras variables como algunos "combinación lineal" de las otras variables. Una vez que hemos alcanzado esta forma, podemos interpretar el sistema como $D\xi =0$ para algunos de conexión de $D,$, punto en el que la dimensión de cualquier paquete de $\xi$ es una sección de (que básicamente es la suma directa de todos nuestros variables) da una cota superior para la dimensión del espacio de soluciones.
Resulta que sólo necesitamos uno más variable en este caso. Siguiente Apéndice A2 de estas notas por Rod Guber, si introducimos $Q_i = \nabla_i \Lambda + P_{ij} X^j$ donde $P$ es el Schouten tensor de curvatura, a continuación, después de los desplazamientos de un montón de instrumentos derivados el sistema se puede escribir como
\begin{align}
\nabla_i X_j &= K_{ij} + \Lambda g_{ij} \\
\nabla_i \Lambda &= Q_i - P_{ij} X^j\\
\nabla_i K_{jk} &= - P_{ij} X_k - P_{ik} X_j - g_{ij} Q_k - g_{ik} Q_j + W_{lijk}X^l \\
\nabla_i Q_j &= -P^k_i K_{jk} - P_{ij} \Lambda - C_{kij} X^k.
\end{align}
Aquí $W,C$ son los Weyl y Algodón de curvatura de los tensores, respectivamente -, en particular, tenga en cuenta que $g,P,W,C$ son fijos todos los tensor de campos, así que si pensamos en $\xi =(X,\Lambda,K,Q)$ como una sección de $$E := TM \oplus \mathbb R \oplus \Lambda^2 TM \oplus TM$$ then the system can be written $\nabla \xi + L(\xi)=0$ for some $L\en \Gamma(T^*M \otimes \operatorname{End}(E)).$ Thus conformal Killing vectors $X$ are in $1-1$ correspondence with the sections of $E$ that are parallel with respect to the linear connection $D = \nabla + L;$ so the space of solutions has dimension at most $$\dim E = n + 1 + \binom n 2+n=\frac{(n+1)(n+2)}2.$$
La suposición $n>2$ es utilizado en algún lugar en el cálculo de la $\nabla Q$: usted puede ver la versión de fácil (para un plano métrico) en estas diapositivas por Michael Eastwood. (Yo wussed y no te apetece hacer la versión dura del cálculo de mí - espero que usted puede trabajar hacia fuera.) En el caso de $n=2$, yo creo que usted encontrará que el sistema se cierra nunca, no importa cuánto tiempo usted prolongar la prolongación.
Edit: me recordó a recibir un bonito folleto en una charla de Michael hace un par de años, así que me la excavación fuera del armario. Creo que su introducción es una referencia mejor que cualquiera de mis enlaces de arriba, y se puede encontrar en línea aquí. Incluye algunos bien escrito, de motivación, así como también los detalles del cálculo que se omite.
