Inadecuado integral de convergencia: $\int_{0}^{1}{\frac{\mid{\log(x)}\mid^a}{\sqrt{1-x^2}}}dx$

Question

Como dije en el título, quiero comprobar la convergencia/divergencia de la integral impropia cuando $a\in \mathbb{R}$: \begin{equation} \int_{0}^{1}{\frac{\mid{\log(x)}\mid^a}{\sqrt{1-x^2}}}dx \end{equation} Así, es incorrecto en$x=0$$x=1$, así que me separé de la integral en : \begin{equation} \int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{\mid{\log(x)}\mid^a}{\sqrt{1-x^2}}}dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{\mid{\log(x)}\mid^a}{\sqrt{1-x^2}}}dx \end{equation} Veo, que en la primera de las integrales es como $\int\mid{\log(x)}\mid^a dx $ por la comparación de la prueba de límite, pero no sé cómo demostrar que $\int\mid{\log(x)}\mid^a dx $ converge.

Espero que usted me puede ayudar. Muchas gracias!

Answer 1

Para $\frac12\le x\le1$, $$ 1-x\le|\log(x)|\le2\log(2)(1-x) $$ y $$ \sqrt{\tfrac32}\sqrt{1-x}\le\sqrt{1-x^2}\le\sqrt2\sqrt{1-x} $$ Por lo tanto, $$ \sqrt{\tfrac12}\int_{1/2}^1(1-x)^{- \frac12}\,\mathrm{d}x \le\int_{1/2}^1\frac{|\log(x)|^a}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x \le(2\log(2))^a\sqrt{\tfrac23}\int_{1/2}^1(1-x)^{- \frac12}\,\mathrm{d}x $$ que converge para $a\gt-\frac12$ y diverge para $a\le-\frac12$.

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Para $0\le x\le\frac12$, $$ \frac1{\sqrt{1-x^2}}\le\frac2{\sqrt3} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^{1/2}\frac{|\log(x)|^a}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x \le\frac2{\sqrt3}\int_{\log(2)}^\infty x^ae^{-x}\,\mathrm{d}x $$ que converge para todos los $a$.

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Por lo tanto, $$ \int_0^1\frac{|\log(x)|^a}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x $$ converge para $a\gt-\frac12$ y diverge para $a\le-\frac12$.

Answer 2

$$\int_{0}^{1}\frac{x^\beta}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\left(\frac{\beta+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\left(\frac{\beta+2}{2}\right)}$$ por Euler de la función Beta. El lado derecho es una $C^\infty$ función en una vecindad del origen, de ahí que mediante la aplicación de $\left.\frac{d^a}{d\beta^a}\left(\ldots\right)\right|_{\beta=0}$ a ambos lados tenemos que la integral dada es finito para cualquier $a\in\mathbb{N}$. Por el Cauchy-Schwarz desigualdad de la función $$ f(a)=\int_{0}^{1}\frac{\left|\log(x)\right|^a}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\stackrel{x\mapsto e^{-t}}{=}\int_{0}^{+\infty}\underbrace{\frac{t^a}{\sqrt{e^{2t}-1}}}_{g(t)}\,dt $$ es log-convexa en su máxima dominio. $g(t)$ se comporta como $C t^{a-1/2}$ en un buen barrio de el origen y como $t^a e^{-t}$ en la izquierda barrio de $+\infty$, por lo tanto integrabilidad está garantizada por $a>-\frac{1}{2}$, que es también una condición necesaria.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{\mid{\log(x)}\mid^a}{\sqrt{1-x^2}}}dx$$

converge $\forall a$ por la prueba de comparación con $\frac1{\sqrt x}$.

Para la segunda parte

$$\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{\mid{\log(x)}\mid^a}{\sqrt{1-x^2}}}dx $$

deje $1-x^2=y^2$

$$\int_{\frac{\sqrt 3}{2}}^{0}{\frac{\mid{\log(\sqrt{1-y^2}}\mid^a} de{y}}\cdot \left(\frac {y}{\sqrt{1-y^2}}\right)dy = \int_{0}^{\frac{\sqrt 3}{2}}{\frac{\mid{\log(\sqrt{1-y^2}}\mid^a}{\sqrt{1-y^2}}}dy $$

y tenga en cuenta que para $y\to 0$

$$\mid\log\left(\sqrt{1-y^2}\right)\mid\sim \frac{y^2}{2}$$

por lo tanto la integral converge para $-2a<1$ $a>-\frac12$ y diverge para $-2a\ge1$ $a\le-\frac12$ en comparación con $y^{2a}$.