Encuentra la función integrable $g:[0,b]\rightarrow \mathbb R$ para satisfacer $\int_{0}^{x} t\cdot g(t) dt=x+x^2$

Question

He encontrado $g(x)=\frac{1}{x}+2$ pero no satisface para $x=0$ que se necesita.

También he intentado definir la función $g(x)=\frac{1}{x}+2$ con $ x>0$ y $ x\leq b$ , $g(0)=0$ .

¿Es eso posible y si no es así cómo puedo resolver este problema?

¿Podemos utilizar las sumas superiores e inferiores para resolverlo? (Definición de Riemann)

Answer 1

Si $$ \int_0^xt\,g(t)\,\mathrm{d}t=x+x^2 $$ Entonces, para $x\ge0$ , $$ x\int_0^x|g(t)|\,\mathrm{d}t\ge x+x^2 $$ lo que implica $$ \lim_{x\to0}\int_0^x|g(t)|\,\mathrm{d}t\ge\lim_{x\to0}\,(1+x)=1 $$ Sin embargo, si $g(t)$ eran integrables, $$ \lim_{x\to0}\int_0^x|g(t)|\,\mathrm{d}t=0 $$ Por lo tanto, ningún integrable $g$ puede satisfacer la ecuación.

Answer 2

No existe tal función. De hecho, supongamos que existe. Entonces $$\lim_{x \to 0^+} x g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \int_0^x t \cdot g(t) \ \mathrm{d} t = \lim_{x \to 0^+} 1+x = 1$$ por lo que $g(x) \sim \frac{1}{x}$ asintóticamente como $x \to 0^+$ .

Esto implica que $g$ no es integrable.

Answer 3

Al diferenciar ambos lados de $\int_{0}^{x} t\cdot g(t) dt=x+x^2$ y aplicando la regla de Leibniz, deducimos que

$$ xg(x) = 1 + 2x$$

Aquí, dejemos que $g(x) = 2 + f(x)$ . Entonces nos queda $$xf(x) =1$$ Ahora esto tiene la solución $f(x) = \frac 1x$ lo que no es bueno, como señaló Crostul. Sin embargo, hay un segunda solución a esta ecuación si está dispuesto a introducir distribuciones, a saber

$$f(x) = -\delta'(x)$$

Por lo tanto, $g(t) = 2- \delta'(t)$ es una solución distributiva de su ecuación.