Estoy buscando el comportamiento de la suma $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\ln\left(n\right)}{n}\,z^{n} $$
como $z \to 1^{-}$. Yo sé que a $z = 1$, diverge. Así que, idealmente, me gustaría saber cómo es que se comporta como una función de la $z$ en la izquierda barrio de $1$. Pensé que de alguna manera puede estar relacionada con la Polylogarithm función, pero me parece que no puede averiguar.
Gracias de antemano por cualquier ayuda.
Tenemos $\mathcal{L}(\log x)=-\frac{\gamma+\log(s)}{s}$, por lo tanto $\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{\log s}{s}\right) =-\left(\log(x)+\gamma\right)$. Además $$ \mathcal{L}\left(\frac{\log x}{x}\right) = \frac{\pi^2}{12}+\frac{\left(\gamma+\log x\right)^2}{2},$$ por lo tanto, una muy buena aproximación es $$ \sum_{n\geq 1}\frac{\log n}{n}\,x^n \sim \frac{(\gamma+\log(1-x))^2}{2}\quad \text{for }x\to 1^- $$ por sólo reformular Antonio Vargas enfoque en términos de $\mathcal{L}/\mathcal{L}^{-1}$ y Hardy, Littlewood del tauberian teorema.
Aquí están algunas notas [PDF] sobre este tema. La idea básica es la de comparar la suma de la correspondiente integral, que a menudo es más fácil de estimar.
Lema 3 de estas notas:
Para una función determinada, $\psi : [N,\infty) \to \mathbb R^+$ supongamos que el mapa de $t \mapsto \psi(t) x^t$ es unimodal, con el máximo en $t = t_x \geq N$, $0 < x < 1$. Entonces $$ \sum_{n \geq N} \psi(n) x^n = \int_N^\infty \psi(t) x^t\,dt + O\left(\psi(t_x)x^{t_x}\right) + O(1) $$ como $x \to 1^-$.
El mapa de $t \mapsto \frac{\log t}{t} x^t$ es de hecho unimodal, y $\frac{\log t}{t} x^t \leq 1/e$ todos los $0 \leq x \leq 1$. Así
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n} x^n = \int_1^\infty \frac{\log t}{t} x^t\,dt + O(1) \etiqueta{$*$} $$
como $x \to 1^-$. Si establecemos $\lambda = -1/\log x$ (de modo que $\lambda \to \infty$$x \to 1^-$) y hacer la sustitución $s = t/\lambda$, la integral se convierte en
$$ \begin{align} \int_1^\infty \frac{\log t}{t} x^t\,dt &= \int_1^\infty \frac{\log t}{t} e^{-t/\lambda}\,dt \\ &= \log \lambda \int_{1/\lambda}^{\infty} \frac{e^{-s}}{s}\,ds + \int_{1/\lambda}^{\infty} \frac{e^{-s} \log s}{s}\,ds. \tag{%#%#%} \end{align} $$
La omisión de algunos de los detalles,
$$ \int_{1/\lambda}^{\infty} \frac{e^{-s}}{s}\,ds \sim \int_{1/\lambda}^{1} \frac{e^{-s}}{s}\,ds \sim \int_{1/\lambda}^{1} \frac{1}{s}\,ds = \log \lambda $$
y
$$ \int_{1/\lambda}^{\infty} \frac{e^{-s} \log s}{s}\,ds \sim \int_{1/\lambda}^{1} \frac{e^{-s} \log s}{s}\,ds \sim \int_{1/\lambda}^{1} \frac{\log s}{s}\,ds = - \frac{(\log \lambda)^2}{2} $$
como $**$.
Sustituyendo estos en $\lambda \to \infty$ tenemos
$$ \int_1^\infty \frac{\log t}{t} x^t\,dt \sim \frac{(\log \lambda)^2}{2} = \frac{(-\log(-\log x))^2}{2} \sim \frac{(\log(1-x))^2}{2} $$
y por lo tanto
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n} x^n \sim \frac{(\log(1-x))^2}{2} $$
como $(**)$$x \to 1^-$.
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