Sea f una función continua y diferenciable tal que f(a)=f(b)=0

Question

Deje $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ ser una función continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$ tal que $f(a)=f(b)=0$ . Mostrar que $7f(c)+cf'(c)=0$ algunos $c \in (a,b)$.

He intentado utilizar el teorema de rolle y del valor medio teorema, pero se quedó atascado. Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Aplicar el teorema de Rolle a la función $$x^7f(x).$$

Answer 2

Esto aumenta la respuesta dada por @Abejorro.

Set $g(x)=x^7f(x)$.

Tenemos $g(a)=g(b)=0$ $g$ es también continua en $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Por lo tanto, por el teorema de Rolle, existe un punto de $c\in(a,b)$ tal que $0=g'(c)=7c^6f(c)+c^7f'(c)=c^6\left(7f(c)+cf'(c)\right)$. Distinguir dos casos:

• $0\not\in (a,b)$: a continuación,$c^6\ne 0$, por lo que llegamos a la conclusión de que $7f(c)+cf'(c)=0$
• $0\in (a,b)$. Nota, sin embargo, $g(0)=0$, por lo que podemos aplicar el teorema de Rolle a $g(x)$ $(a,0)$ (o $(0,b)$) y a la conclusión de que hay un punto de $c\in(a,0)$ (o $c\in(0,b)$) tal que $0=c^6\left(7f(c)+cf'(c)\right)$, igual que antes. Sin embargo, en $(a,0)$ (o $(0,b)$) que podemos garantizar a $c\ne 0$, por lo que la conclusión $7f(c)+cf'(c)=0$ sigue.

El $2^{nd}$ parte de esta prueba es cortesía de @orole.

Answer 3

Sugerencia :

Tomar la expresión que tiene y resolverlo como una ODA :

$$7f(x) + xf'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = - \frac{7}{x} \Rightarrow f(x) = \frac{c_1}{x^7}$$

Para $x=c$ las expresiones se obtiene :

$$f(c) = \frac{c_1}{c^7}$$

Esto sólo puede ser igual a $0$ fib $c_1 = 0 \Rightarrow f(x) = 0$.

Para $f(x)=0$ a pesar de que la hipótesis se sostiene, puesto que $f$ será continua en $[a,b]$, diferenciable en a $(a,b)$ y obviamente es $f(a) = f(b) = 0$. Este, por el Teorema de Rolle implica que $\exists c \in (a,b) : f'(c) =0$, lo que también es cierto, ya que si $f(x)=0$ también $f'(x) = 0$.