Estoy buscando una simple prueba de la no existencia de solución de $$X^p+Y^p=(X+1)^p$$ para $p>2$ Sé que es parcial caso del Último Teorema de Fermat. Pero estoy buscando un método simple, sin entrar en la parte compleja de la teoría de grupo y el álgebra. Simplemente he encontrado de la Fermat Poco Teorema que $$Y\equiv1\pmod p$$ Pero esta es la máxima que yo era capaz de conseguir. ¿Hay alguna idea de cómo solucionar esto usando métodos simples?
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¿Demasiados anuncios?
saulspatz
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EDICIÓN de Esta prueba es incorrecta. Los cálculos están bien, creo, pero luego tuve que ir a una completamente injustificada (y falsa) de la conclusión al final. Mi inclinación es eliminar este tipo de respuesta, pero me voy a solicitud de la OP.
Creo que sé cómo hacerlo. Voy a dar mi idea, y vamos a rellenar los detalles.
Como usted dijo, $Y \equiv 1 \pmod p,$ y como señalé en mi comentario, sabemos $X \equiv 0 \pmod p.$ Escritura $X=px, Y=py+1,$ y expandir la ecuación por el teorema del binomio.$$\begin{align}p^px^p + \sum_{k=0}^p{\binom{p}{k}p^ky^k}&=\sum_{k=0}^p{\binom{p}{k}p^kx^k}\\ \sum_{k=1}^p{\binom{p}{k}p^ky^k}&=\sum_{k=1}^{p-1}{\binom{p}{k}p^kx^k}\end{align}$$ Aquí hemos restado $p^px^p$ a partir de la suma de la derecha, se resta el $k = 0$ plazo de ambas sumas.(Muchas gracias a user159517 quien señaló la necesidad de este paso.)
Ahora me reclama que $p^3$ divide el coeficiente de cada uno de estos términos, excepto el $k=1$ términos. Al $k=1$ el coeficiente de es $p^2.$ Al $k\ge 3$ el coeficiente es obviamente divisible por $p^3.$ Al $k=2,$ el coeficiente de es $$\binom{p}{2}p^2 = \frac{p(p-1)p^2}{2} \equiv 0 \pmod {p^3},$$ desde $p$ es una extraña prime.
Ahora dividiendo por $p^2$ y la reducción de ambos lados de mod $p$ da $x \equiv y \pmod p$ desde el término con $k>1$ se desvanecen. Ahora podemos decir $Y \equiv 1 \pmod {p^2}\text{ and }X \equiv 0 \pmod {p^2}.$ (No podemos! Esto es FALSO, incluso en el caso de $x=y$.) Debería ser posible demostrar por inducción que $Y \equiv 1 \pmod {p^n}\text{ and }X \equiv 0 \pmod {p^n}$ por cada $n,$ lo que demuestra la $X=0, Y=1.$
EDICIÓN de Ejemplo para $p=3,$ solicitado por OP.
En este caso, tenemos $X=3x, Y=3y+1,$, por lo que la ecuación se convierte $$\begin{align}(3x)^3+(3y+1)^3 &= (3x+1)^3\\27x^3+27y^3+27y^2+9y+1 &=27x^3+27x^2+9x+1\\27y^3+27y^2+9y&=27x^2+9x\\3y^3+3y^2+y&=3x^2+x\\y &\equiv x \pmod 3\end{align}$$
