Intuición de la Iteración Picard

Question

Entiendo la demostración del Teorema de Picard-Lindelof, pero me cuesta entender por qué alguien intentaría utilizar la continuidad de Lipschitz en primer lugar. La condición de la continuidad de Lipschitz parece ad hoc. ¿Cuál es la motivación de esto a nivel intuitivo? Esto podría responderse respondiendo a una de las siguientes preguntas:

¿Por qué el hecho de no ser continua de Lipschitz en un punto permite una ruptura de las soluciones, es decir, no hay unicidad de soluciones? (No busco un ejemplo, sino una comprensión intuitiva).

¿Por qué se buscaría una solución mediante una iteración de Picard, es decir, por qué alguien tendría la intuición de que la ecuación integral (inducida por la ecuación diferencial) debería contraer aproximaciones?

Answer 1

Antes de empezar, me gustaría llamar su atención sobre tres puntos.

( i ) Las pruebas que encontramos en los libros modernos no son las original una descubierta por Picard y Lindelöf, sino versiones refinadas de la misma. En 1894 tenían otra mentalidad, otras intuiciones y muchos menos conocimientos disponibles. Además, la rama del análisis funcional estaba en sus primeros años, la continuidad de Lipschitz aún no era conocida como continuidad de Lipschitz (de hecho aún estaba vivo) y Banach era apenas un bebé.

( ii ) La iteración de Picard se propone en el capítulo XI, sección III, de (E. Picard) Traté D'Analyse II como método de aproximaciones sucesivas para mostrar la existencia (e implícitamente la unicidad) de soluciones como método alternativo al de Cauchy-Lipschitz, que se estudia en detalle en los subcapítulos XI.I y XI.II. Es muy probable que el contenido discutido en estas dos secciones sea lo que motivó su propio método; en particular XI.II, titulado "Sobre una importante propiedad del método Cauchy-Lipschitz" . (Actualmente el teorema de Cauchy-Lipschitz y el teorema de Picard-Lindelöf se refieren al mismo teorema).

( iii ) El tipo de intuición que debería esperar es una intuición más abstracta y técnicamente refinada que se encuentra en todo el análisis funcional, ya que el argumento utilizado en el teorema de Picard-Lindelöf es esencialmente un argumento de análisis funcional. Este tipo de intuición sugiere, en efecto, "condiciones ad hoc" en algunas situaciones, pero tenga en cuenta que en el fondo son conjeturas muy bien fundamentadas .

Dicho esto, vamos a discutir un camino moderno plausible para elaborar la prueba de la unicidad con la intención de que en el momento adecuado la Lipschitzianidad parezca evidente. Empezamos con un conjunto abierto $\mathcal{O} \subseteq \mathbb{R}^n$ un intervalo abierto $I \subseteq \mathbb{R}$ , $ f: \mathcal{O} \times I \to \mathbb{R}^n $ continua, $x : I \to \mathbb{R}^n$ diferenciable, el problema en su forma diferencial $$\begin{cases} \dot{x}(t) = f(x(t), t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} \tag{1}$$

y su equivalente forma integral $$ x(t) = x_0 + \int_{t_o}^t f(x(s), s)\ ds \tag{2}$$

(Según las hipótesis, existe una solución local).

Alguien que conozca los espacios funcionales y los mapas entre ellos puede notar que la RHS de $(2)$ es uno de ellos, a saber $$ \mathcal{F} : X \to Y : x \mapsto \left(I \to \mathbb{R}^n : t \mapsto x_0 + \int_{t_o}^t f(x(s), s)\ ds \right) $$

donde $X$ y $Y$ son espacios funcionales adecuados. Así, $(2)$ es simplemente $$ x = \mathcal{F}(x) \tag{3} $$

Esto significa que la función $x$ es un punto fijo de la función de orden superior $\mathcal{F}$ . (Los puntos en los espacios funcionales son funciones).

Con la suficiente familiaridad con los espacios métricos completos o de Banach, como queremos que este punto fijo sea único, empezamos a preguntarnos por el teorema del punto fijo de Banach. Entonces, si de alguna manera pudiéramos encontrar un espacio métrico completo invariante bajo $\mathcal{F}$ en el sentido de que, $\mathcal{F}(X) \subseteq X$ con $x \in X$ podríamos usarlo.

No hace falta recordar uno de los espacios más conocidos: el conjunto de funciones acotadas, $\mathcal{B}(I, \mathbb{R}^n)$ que junto con la norma del supremum, $\| \cdot \|_{\infty}$ constituye un espacio de Banach, por lo que induce un espacio métrico completo. Dado que $x$ es continua, para acotarla, simplemente tomamos un subintervalo compacto $J \subset I$ y en lo sucesivo considerar $X = Y = (\mathcal{B}(J, \mathbb{R}^n), \| \cdot \|_{\infty})$ .

Omitiendo los detalles más finos, ya que tratamos de mostrar $\mathcal{F}(X) \subseteq X$ encontramos que $X$ y $Y$ debe limitarse a las funciones tales que $\| x(t) - x_0 \| \le \beta$ para un adecuado $\beta$ , es decir, las funciones tales que la distancia a $x_0$ no supera $\beta$ . Resulta que dicho subespacio sigue siendo completo. Además para asegurarnos de que las soluciones no salen $f$ lo restringimos a $\overline{B}(x_0, \beta) \times J$ .

Ahora estamos seguros de que $X$ es un espacio métrico completo adecuado y $\mathcal{F}(X) \subseteq X$ nos preguntamos si es posible $\mathcal{F}$ sea una contracción. Bien. Ya tenemos un dominio convexo compacto muy bonito, no hay mucho más que pedir aquí. Entonces, ¿a qué cambiar ahora? Lo único que queda es $f$ (que, por cierto, ahora es uniforme). Bueno, hay diferentes niveles de continuidad. Los tipos habituales de continuidad en conjuntos compactos se jerarquizan de la siguiente manera

1. uniformemente (globalmente) continua
2. localmente Hölderian
3. (globalmente) Hölderiano
4. localmente Lipschitzian
5. (globalmente) Lipschitziano
6. derivada acotada
7. continuamente diferenciable

Desde que se demostró que $\mathcal{F}$ es una contracción está mostrando la innealidad

$$ \| \mathcal{F}(x)(t) - \mathcal{F}(y)(t) \| = \left\| \int_{t_0}^{t} f(x(s),s) - f(y(s), s)\ ds \right\| \le \lambda \|x(t) - y(t) \| \tag{4}$$

y la integración interactúa muy bien con las normas

$$ \left\| \int_{t_0}^{t} (f(x(s),s) - f(y(s), s))\ ds \right\| \le \left| \int_{t_0}^{t} \| f(x(s),s) - f(y(s), s) \| ds \right| \tag{5}$$

es razonable preguntarse por un tipo de continuidad que también relaciona norma y desigualdad. En particular, $(4)$ y $(5)$ sugieren la continuidad de Hölder o de Lipshitz. Como la continuidad de Hölder no parece conveniente aquí debido a su exponente, elegimos la continuidad (global) de Lipshitz. Esto permite inmediatamente la siguiente estimación

$$ \left| \int_{t_0}^{t} \| f(x(s),s) - f(y(s), s) \| ds \right| \le L \left| \int_{t_0}^{t} \| (x(s), s) - (y(s), s) \| ds \right| \tag{6}$$

que es suficiente para hacer $\mathcal{F}$ una contracción en estos escenarios. Hemos logrado nuestro objetivo.

Obsérvese que la Lipschitzianidad no es necesaria en $t$ porque se anula en $(6)$ . Además, dado que una función localmente lipschitziana sobre un conjunto compacto es globalmente lipschitziana y que, de todos modos, restringiremos $f$ a un conjunto compacto, sólo necesitamos $f$ sea localmente lipschitziano en $x$ .

Lo que hace que esta prueba sea interesante (y lo que la ha hecho popular) es que da elegantemente un método para construir el (localmente, ya que reducimos $f$ ) solución única a través de $\mathcal{F}$ . A la luz del teorema del punto fijo de Banach, simplemente elegimos cualquier función de arranque en $X$ , digamos que $\gamma_0 \in X$ , e itera $\mathcal{F}$ sobre ella: $\mathcal{F}^n(\gamma_0)$ . Así, $\gamma = \lim_\limits{n \to \infty} \mathcal{F}^n(\gamma_0)$ existe y es (localmente) único. Por lo tanto, $\gamma$ es el punto fijo (localmente) único de $\mathcal{F}$ y, en consecuencia, la solución (localmente) única de $(1)$ . Elegimos $\gamma_0(t) = x_0$ porque es la única función que estamos seguros que pertenece a $X$ .

La secuencia $\mathcal{F}^n(\gamma_0)$ se denomina iteración de Picard porque coincide exactamente con el método original de aproximaciones sucesivas de Picard. Aquí es importante destacar que es la prueba de unicidad la que produce la "iteración de Picard" y no al revés. Sin embargo, lo que Picard (asombrosamente) consiguió hacer, con los conocimientos y la madurez matemática disponibles en la época, fue saltarse este pulido razonamiento (que hoy se considera sencillo).

Ahora tómate un momento para contemplar lo aguda que debe ser tu intuición para conseguir este razonamiento sin la estructura que proporciona el análisis funcional.

Por último, pero no menos importante, la Lipschitzianidad no local no permite necesariamente soluciones no únicas. La unicidad se mantiene bajo una condición más débil, conocida como Criterio de Osgood . Para más teoremas sobre la unicidad, véase (R.P. Agarwal, V. Lakshmikantham) Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. World Scientific (1993).

Answer 2

En realidad hay dos partes aquí. Primero, ¿por qué refundir la ecuación diferencial

$$y'=f(x,y),y(0)=y_0$$

en la ecuación integral

$$y(x)=y_0+\int_0^x f(z,y(z)) dz$$

? Este es un caso particular de conversión de la forma "fuerte" de una ecuación a una forma "débil", lo que significa que se requieren menos derivadas para darle sentido (en este caso no se requiere ninguna, de hecho). Me parece que esto es difícil de motivar en general. Pero en general la introducción de la noción de formulaciones débiles está en el corazón del análisis riguroso de las ecuaciones diferenciales (especialmente de las EDP), así que vale la pena acostumbrarse a ella.

En segundo lugar, ¿por qué resolver la ecuación integral mediante la iteración de Picard? Bueno, en general tiene sentido pensar en hacer un esquema de aproximación "tipo punto fijo", en el que se mejoran las aproximaciones según un esquema

$$y_{n+1}=F(y_n)$$

donde $F$ es un mapeo de funciones a funciones. Si este esquema debe converger, entonces la solución de la ecuación diferencial debe ser un punto fijo de $F$ . Observamos que la ecuación integral ya está en forma de punto fijo $y=F(y)$ . Así que uno podría esperar que la iteración de punto fijo con el RHS de la original la ecuación integral convergerá.

Con bastante frecuencia, en otras situaciones este falla . Por ejemplo, si queremos resolver iterativamente la ecuación algebraica de punto fijo $x=x^2-100$ el esquema $x_{n+1}=x_n^2-100$ no funcionará. En estos casos tenemos que encontrar algún equivalente ecuación de punto fijo para construir una iteración convergente. Una de ellas es $x_{n+1}=\sqrt{x_n+100}$ ; otra es $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-x_n-100}{2x_n-1}$ .

En el caso particular de la iteración de Picard para una $f$ , resulta que lo más obvio que se puede intentar cuando se parte de la ecuación integral anterior funciona. Probablemente no sea tan fácil anticipar esto sin hacer el análisis... pero siempre se puede hacer el análisis y averiguar qué pasa.

Answer 3

Intentas demostrar la existencia de la solución de una ecuación mediante una reformulación en punto fijo. Las opciones naturales para la EDO son $$ y'_{n+1}=f(x,y_n(x)) $$ y $$ y'_{n}=f(x,y_{n+1}(x)). $$ El segundo tiene varios problemas. Primero hay que resolver una ecuación implícita para llegar al valor de $y_{n+1}$ entonces la diferenciación destruye la suavidad, lo que restringe severamente la aplicabilidad de esta iteración.

En cambio, la primera variante requiere integrar $y_{n+1}'$ a $$ y_{n+1}(x)=y_{n+1}(x_0)+\int_{x_0}^xf(s,y_n(s))\,ds $$ Utilizar la opción natural $y_{n+1}(x_0)=y_0$ se encuentra la iteración de Picard. Debido a la integración la clase de suavidad de los iterados se incrementa en cada paso en un orden hasta que la suavidad de $f$ es superado por uno.

Además, $C^{k+1}$ es un subconjunto pequeño y delgado en $C^k$ para que la proyección hacia abajo después de un paso de Picard resulte en algo cercano a la contracción a partir de estas consideraciones cualitativas solamente, con una condición de Lipschitz se obtiene una contracción cuantificable.