Su prueba es de dos ejemplos representativos con la esperanza de que por los dos ejemplos que se debe tener claro que sin más rigor que tiene para todos.
Que, por supuesto, no es una prueba.
En realidad, su único problema es la falta de aceptable notación:
$\underbrace{111...}_{2n} - \underbrace{2222...}_2=$
$(1\underbrace{000...}_{n-1}1)*\underbrace{111...}_{n}-2*\underbrace{111...}_{n}=$
$(1\underbrace{000...}_{n-1}1-2)*\underbrace{111...}_{n}=$
$\underbrace{999999...9}_n*\underbrace{111...}_{n}=$
$9*\underbrace{111...}_{n}*\underbrace{111...}_{n}=9*\underbrace{111...}_{n}^2 = (3\underbrace{111...}_{n})$.
Pero podemos formalizar estas generalizaciones:
1) $\underbrace{111...1}_{2n} = \sum\limits_{i=0}^{2n-1} 10^i = 10^n*\sum\limits_{i=0}^{n-1} 10^i + \sum\limits_{i=0}^{n-1} 10^i$
$= (10^n + 1)\sum\limits_{i=0}^{n-1} 10^i = 1\underbrace{000...0}_{n-1}1*\underbrace{11....1}_n$
2) $\underbrace{222....2}_n = \sum\limits_{i=0}^{n-1} 2*10^i=2\sum\limits_{i=0}^{n-1} 10^i = 2*\underbrace{11....1}_n$
3) $\underbrace{999....9}=\sum\limits_{i=0}^{n-1} 9*10^i=9\sum\limits_{i=0}^{n-1} 10^i = 9*\underbrace{11....1}_n$
y $\underbrace{999....9}+1 = \sum\limits_{i=0}^{n-1} 9*10^i + 1$ lo que equivale a $\sum\limits_{i=1}^{n-1} 9*10^i + (9*10^0 + 1) = \sum\limits_{i=1}^{n-1} 9*10^i + 10^1 = \sum\limits_{i=2}^{n-1} 9*10^i+(9*10^1 + 10^1) = ....$ a través de la inducción si podemos mostrar
$\sum\limits_{i=k}^{n-1} 9*10^i + 10^k = \sum\limits_{i=k+1}^{n-1} 9*10^i + (9*10^k + 10^k) = \sum\limits_{i=k+1}^{n-1} 9*10^i + 10*10^k = \sum\limits_{i=k+1}^{n-1} 9*10^i + 10^{k+1}$.
Por lo $\underbrace{999....9}+1 = \sum\limits_{i=n-1}^{n-1}9*10^i + 10^{n-1} = 9*10^{n-1} + 10^{n-1} = 10^n$
por lo $10^n -1 = \underbrace{999....9}$
[Y QUE era una exageración. Usted puede decir $10^n -1 = \underbrace{9999...9}_n$ sin pruebas. Pero... bueno, si estamos recibiendo quisquilloso que dar dos ejemplos no es una "prueba" de que podemos jalear que ... "¿cómo SABEMOS que $10^n -1 = \underbrace{9999...9}_n$" ... bueno, ESA es la forma.]
Con la que podemos hacer la prueba:
$\underbrace{111...1}_{2n}- \underbrace{222....2}_n=$
$(10^n + 1)\underbrace{111...1}_{n}- 2*\underbrace{111...1}_{n}=$
$(10^n+1 - 2)*\underbrace{111...1}_{n}=$
$(10^n - 1) *\underbrace{111...1}_{n}=$
$(9*\underbrace{111...1}_{n})*(\underbrace{111...1}_{n})$
$3^2* \underbrace{111...1}_{n}^2 = (3*\underbrace{111...1}_{n})^2$
=====
Pero si estamos haciendo pruebas.
Le tocaría a nosotros por unos momentos para demostrar que para cualquier $a \ne 1$:
$1 + a + a^2 + a^3 + ...... + a^k = \frac {a^k - 1}{a-1}$
Pf: $(a-1)(1 + a + a^2 + a^3 + ...... + a^k) =(a + a^2 + a^3 + ...... + a^{k+1}) -(1 + a + a^2 + a^3 + ...... + a^k)= a^{k+1} - 1$.
Lo que significa que $\underbrace{111...1}_n = 1 + 10 + 100 + ..... + 10^{n-1} = \frac {10^n -1}{10-1} = \frac {10^n-1}9$.
Con eso, Señor Sark de la respuesta hace que sea más fácil:
$\underbrace{111...}_{2n} - \underbrace{222....2}_n =$
$\frac {10^{2n} - 1}{10 - 1} - 2\frac{10^{n} -1}{10-1} =$
$\frac {(10^n)^2 - 2*10^{n} + 1}{9} =(\frac {10^n - 1}{3})^2=$
$(\frac {(10-1)(1 + 10 + 100 + ..... )}3)^2= (3*\underbrace{111...11}_n)^2$.
