Cómo es de Cayley del teorema útil?

Question

(Por "útil" quiero decir, "sirve para demostrar otros teoremas".)

Yo entiendo del teorema de Cayley ("cada grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico actuando en $G$"), pero no veo lo que uno puede hacer con él.

Concedido, hay un gran mérito en la unificación de vista que se da de todos los grupos, pero me gustaría saber de hormigón de las deducciones y de las líneas de la prueba del teorema de Cayley hace posible.

En otras palabras, me encantaría ver ejemplos donde Cayley del teorema de "salva el día" (es decir, hace una situación difícil/intratable prueba fácil/fácil).

Answer 1

Aquí es una buena aplicación del Teorema de Cayley:

Lema Cada grupo con $4n+2$ elementos contiene un subgrupo de índice $2$.

Prueba: Por el Teorema de Cayley $G$ es isomorphich con un subgrupo $H$$S_{4n+2}$, y cada una de las $\sigma \in H, \sigma \neq e$ no tiene puntos fijos.

Siguiente, como todo grupo de orden, existe alguna $\sigma \in H$ orden $2$. Desde $\sigma$ orden $2$, es el producto de transposiciones. También, desde la $\sigma$ no tiene ningún punto fijo, es el producto de $2n+1$ transposiciones.

Por lo tanto, $\sigma$ es una permutación impar.

A continuación, $\tau \to \sigma \tau$ es un bijection entre el conjunto de permutaciones pares e impares en $H$.

De ello se desprende que $H \cap A_n$ índice de $2$$H$.

Como consecuencia, se obtiene:

Corolario De $n \geq 1$, grupo con $4n+2$ elementos no es simple.

Tratamos de probar directamente que un grupo de con $4n+2$ elementos pueden ser simples para $n \geq 1$.

O probar sin el Teorema de Cayley el Lema se indicó anteriormente.