Las integrales de la desigualdad

Question

Tengo $$A=\int_1^5{\frac{e^x}{e^x+x^2}dx}$$ $$B=\int_1^5{\frac{x^2}{e^x+x^2}dx}$$ Ya he encontrado que $A+B=4$, pero ahora quiero demostrar que la $AB\le4$. No sé cómo. Estoy pensando en utilizar las propiedades de las integrales, pero nada parece funcionar para mí. Alguna idea?

Answer 1

Esto se desprende de la AM–GM de la desigualdad. Ambas integrales son positivos, por lo que $$A+B=4\implica\frac{a+B}2=2\implica \sqrt{AB}\le2\implica AB\le4$$

Answer 2

Mientras Parcly la respuesta es rápida, se puede hacer sin AM-GM así que si usted no sabe/no recuerda AM-GM. Después de todo, si se les da $A+B=4$, entonces la expresión $AB$ puede ser escrito como $A(4-A)$$-A^2+4A$. Las salidas son los valores de acuerdo a una parábola que abre hacia abajo, después de haber vértice $(2,4)$, por lo tanto $AB\le4$. Sólo un pensamiento...

Answer 3

$((\sqrt{A})^2 -(\sqrt{B})^2)^2 \ge 0$
$(\sqrt{A})^2-2\sqrt{AB}+(\sqrt{B})^2 \ge 0$
$(\sqrt{A})^2+(\sqrt{B})^2 \ge 2\sqrt{AB}$
$A + B \ge 2\sqrt{AB}$
por lo $A + B = 4 \Rightarrow 4 \ge 2\sqrt{AB}$
Que es $\sqrt{AB} \le 2$
Por lo tanto, $AB \le 4$