Límite de un producto con los números primos

Question

Un amigo encontró un problema de cálculo en una vieja caja con un montón de ejercicios de matemáticas, pero no tenemos la respuesta a uno de ellos. Si usted nos puede ayudar con una sugerencia sería bueno! La pregunta es: ¿cuál es el límite de la siguiente infinita de productos?

$$ \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^4+1}{p^4-1} $$

Aquí $\mathbb{P}$ es el conjunto de los números primos.

Answer 1

Sugerencia: el Uso de Gris Papá's sugerencia, junto con el hecho de que $p^4+1=\dfrac{p^8-1}{p^4-1}$ , uno debe llegar fácilmente a la conclusión de que $P=\dfrac{\zeta^2(4)}{\zeta(8)}=\dfrac76$ , lo que confirma Peter's resultado numérico.

Answer 2

De manera más general:

Vamos $R_n =\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^n+1}{p^n-1} $.

Desde $\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p \en \Bbb{P}}\frac{p^s}{p^s-1} $ y $p^n+1 =\frac{p^{2n}-1}{p^n-1} $,

$\begin{array}\\ R_n &=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{\frac{p^{2n}-1}{p^n-1}}{p^n-1}\\ &=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^{2n}-1}{(p^n-1)^2}\\ &=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^{2n}-1}{p^{2n}}\frac{p^{2n}}{(p^n-1)^2}\\ &=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^{2n}-1}{p^{2n}}\prod_{p \in \mathbb{P}}\frac{p^{2n}}{(p^n-1)^2}\\ &=\frac1{\zeta(2n)}\left(\prod_{p \in \mathbb{P}}\frac{p^{n}}{p^n-1}\right)^2\\ &=\frac{\zeta^2(n)}{\zeta(2n)}\\ \end{array} $

Incluso entero $n$, este es un número racional, pero $R_n =\frac{\zeta^2(n)}{\zeta(2n)}$ también es cierto real $n > 1$.