¿Por qué se nos permite cancelar las fracciones en los límites?

Question

Por ejemplo:

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^4-1}{x-1}$$

Podríamos ampliar y simplificar así:

$$\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x^3 + x^2 + x + 1) = (1^3 + 1^2 + 1^1 + 1) = 4$$

En este caso se reparte $x-1$ en la parte superior y la parte inferior incluso a pesar de que técnicamente, en $x=1$, $\frac{0}{0}$ que estamos dejando de lado.

Pero, ¿qué nos permite hacer esto?

Answer 1

Simplemente porque estamos tratando con valores de $x\neq 1$ en este caso, por tanto, para algebraicas regla nos permite cancelar

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^4-1}{x-1}=\lim_{x\to 1} \frac{\color{red}{(x-1)}(x^3 + x^2 + x + 1)}{\color{red}{x-1}}$$

Recuerde que, de hecho, que por la definición de límite, le están exigiendo que $$\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \text{such that}\quad \color{green}{\forall x\neq1}\quad|x-1|<\delta \implies|f(x)-L|<\varepsilon$$

Tenga en cuenta también que el mismo cancelación se utiliza para probar la básica derivados caso, por ejemplo, para $f(x)=x^2$

$$\lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\color{red}{(x-x_0)}(x+x_0)}{\color{red}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}(x+x_0)=2x_0$$

Answer 2

Proposición 1: Si $f(x) = g(x)$ siempre $x\ne a,$ $\lim\limits_{x\,\to\,a} f(x) = \lim\limits_{x\,\to\,a} g(x).$

Proposición 2: Después de la cancelación, el resultado de la función es continua en $a,$ por lo que el límite puede ser encontrado mediante la conexión de $a.$

Answer 3

Estás en lo correcto. En el punto de $x=1$ la expresión es indefinido/se comporta mal y no tiene ningún valor.

Pero los límites no son acerca de las funciones en el punto de $x = 1$. Son acerca de las funciones de cerca el punto de $x = 1$. De hecho, son específicamente acerca de cuándo $x \ne 1$ (pero está cerca de a $1$).

$\lim_{x\to a} f(x) = K$ significa que si $x$ es CERCA de $a$ $f(x)$ es CERCA de $K$.

Y si $x$ es cerca de $a$ $x$ no $a$ y que está perfectamente bien para dividir por $x -a$ al $x \ne a$.

Ahora su pelos de punta debe ser levantada cuando escucha algo como "$\frac {x^4 -1}{x-1}$ es cerca de $4$ al $x$ es cerca de $1$" y pregúntate a ti mismo lo que puede "cerca de" significar de forma precisa en términos matemáticos.

Esa es una pregunta para otro momento.

Answer 4

Usted nunca realmente llegar $1$... $x$ se acerca más y más a $1$ no $1$...
Por lo tanto, se puede dividir por $x-1$; nunca $0$... Ver los límites.

Considere la función $f(x)=\begin{cases} 1 \text{ when } x=0 \\ \frac1x \text{ when } x\not= 0\end{cases} \cdots$

Estudiar el comportamiento limitante de $f$ $0$ ... Aviso que no tiene nada que ver con $f$'valor de s, $1$,$0$...

Answer 5

Las funciones definidas por las expresiones

$$\frac{(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x-1} \quad\text{and}\quad x^3 + x^2 + x + 1$$

no son los mismos (debido a que son definidas en diferentes dominios), pero están de acuerdo fuera de $x=1$. Y el límite de $\lim_{x\to 1}$ no se preocupa por el valor (si existe) a $x=1$, pero sólo cerca de los valores de $1$.

Conclusión: Desde el límite sólo ve las partes de estas funciones en el que están de acuerdo, se puede distinguir entre los dos expresiones (aunque son diferentes desde su perspectiva), y tiene que dar el mismo resultado para ambos.