La mayor de las dimensiones siguientes:

Question

Encontrar el mayor autovalor de la siguiente matriz $$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 16\\ 4 & 16 & 1\\ 16 & 1 & 4 \end{bmatrix}$$

Esta matriz es simétrica y, por lo tanto, los valores propios son reales. Lo resuelto por la posible autovalores y, afortunadamente, he encontrado que la respuesta es $21$.

Mi planteamiento:

El factor determinante en la simplificación conduce a las siguientes tercer grado del polinomio. $$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 4 &16\\ 4 &16-\lambda&1\\ 16&1&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^3-21\lambda^2-189\lambda+3969.$$

En un primer vistazo visto cómo muchas personas a encontrar las raíces de este polinomio con lápiz y papel, utilizando álgebra básica. Me las arreglé para encontrar las raíces y son $21$, $\sqrt{189}$, y $-\sqrt{189}$ y el valor más grande es $21$.

Ahora el problema es que mi profesor se quedó mirando esta matriz por un par de segundos y dijo que el mayor autovalor es $21$. Obviamente, él no había ido a través de todos estos pasos para encontrar la respuesta. Así que lo que le ha permitido responder a esta en un par de segundos? Por favor, no digas que él ya sabía la respuesta.

¿Hay alguna forma fácil de encontrar la respuesta en un par de segundos? Qué propiedad de esta matriz hace que sea fácil de calcular que la respuesta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Solicitado por @Federico Poloni:

Deje $A$ ser una matriz con un resultado positivo de entradas, desde el Perron-Frobenius teorema se sigue que el autovalor dominante (es decir, el más grande) es acotada entre la menor suma de una fila y la mayor suma de una fila. Ya que en este caso ambos son igual a $21$, así es necesario que el autovalor.

En resumen: debido a que la matriz es positiva entradas y todas las filas suma a $21$, el mayor autovalor debe ser$21$.

Answer 2

El truco está en que $\frac1{21}$ de su matriz es doblemente estocástica de la matriz con un resultado positivo de las entradas, por lo tanto la cota de 21 para el mayor autovalor es una directa consecuencia de la Perron-Frobenius teorema.

Answer 3

Si usted suma la fila, todas las filas que para el mismo número (21).

Que indica que el $\begin {bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}$ debe ser un vector propio y el 21 es el autovalor asociado.

La traza de la matriz de la igualdad de 21, y la suma de los valores propios es igual a la traza.

El resto de los dos valores propios son el negativo de uno a otro.

Y $3969 < 21^3$, por lo que el otro valor absoluto de los otros dos autovalores son cada uno menos de $21$

Answer 4

Esto se basa en las otras respuestas que sugirió el uso de la traza. La primera parte de esta respuesta es en realidad ya contenida en Doug M y Atmos respuestas, pero voy a reproducir aquí para facilitar la lectura.

Dejando $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ indican que los valores propios de a $A$ sabemos por la estructura de la matriz que $\lambda_1 = \mathrm{tr}(A)=21$ es un autovalor (con autovector $(1,1,1)$). Por otra parte, desde $$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=\mathrm{tr}(A),$$ debe ser que $\lambda_2=-\lambda_3$. Por último, desde $$21\lambda_2^2=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det a,$$ para concluir la prueba de que $\lambda_1 > |\lambda_2|$ es suficiente para mostrar que $$\tag{*}\det A < (21)^3.$$

Podemos probar (*) de forma rápida mediante el uso de Hadamard de la desigualdad: $$(\det A)^2\le \prod_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_{i{}j}^2,$$ which in our case simplifies to $$(\det A)^2 \le (1+16+16^2)^3,$$ so it remains to prove that $1+16+16^2<21^2$, which can be done quickly by rewriting it as $$17<21^2-16^2=(21-16)(21+16)=5\cdot 37,$$ esto es evidentemente cierto.

La ventaja de la utilización de Hadamard de la desigualdad en el cálculo de $\det(A)$ es que toma ventaja de la estructura de la matriz y simplifica los cálculos un poco. Uno podría incluso ser capaz de llevar a cabo los cálculos de esta respuesta mentalmente (pero debo decir que no puedo hacer esto para que).

Answer 5

Puesto que todas las filas de la matriz suma a $21$, $21$ es un autovalor correspondiente autovector $[1,1,1]^T$, y usted sólo tiene que demostrar que la matriz no tiene mayor autovalor.

Un método para la estimación de los valores propios de una matriz es el Gershgorin círculo teorema. Este teorema establece que para cualquier matriz cuadrada de $A = [a_{ij}]_{1\le i,j\le n}$, los autovalores de a $A$ encuentran en los discos $$D_i = \{\lambda: |\lambda - a_{ii}| \le \sum_{j\neq i} |a_{ij}|\}$$ (es decir, $D_i$ está centrada en la $i$th diagonal de entrada de $A$ y tiene un radio igual a la suma de los valores absolutos de las entradas fuera de la diagonal en la $i$ésima fila de a $A$).

Aplicado a su matriz, el teorema muestra que todos los autovalores de a $A$ debe estar en los discos $$D_1 = \{\lambda : |\lambda - 1| \le 20\}$$ $$D_2 = \{\lambda : |\lambda - 16| \le 5\}$$ $$D_3 = \{\lambda : |\lambda - 4| \le 17\}$$ dado que ninguno de estos discos contienen cualquiera de los números reales mayores que $21$, $\lambda = 21$ es el mayor autovalor de la matriz.

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Usted menciona que está en la introducción del álgebra lineal de la clase. El Gershgorin la circunferencia teorema es que normalmente no se enseñan en clases introductorias, pero sin duda podría ser. Me animo a retirar de la prueba en el enlace que me dio: es totalmente primaria.