¿Existen fórmulas positivas para el producto interior entre elementos de una representación de un álgebra de Lie en la forma de Shapovalov?

Question

En una representación simple de un álgebra de Lie simple, existe una única forma bilineal llamada la forma Shapovalov para las que las acciones de $E_i$ y $F_i$ son biadjuntos, y algún vector fijo de mayor peso tiene $\langle v_h,v_h\rangle=1$ .

La representación tiene una distinguida colección de vectores $F_{i_1}\cdots F_{i_n}v_h$ para todas las secuencias $\mathbf{i}$ . Se puede calcular cualquier producto interno $\langle F_{i_1}\cdots F_{i_n}v_h, F_{j_1}\cdots F_{j_n}v_h\rangle$ simplemente moviendo el $F_j$ para convertirse en $E_j$ en el otro lado, y conmutándolos más allá del $F_i$ 's. Esto no es difícil de hacer computacionalmente, pero las fórmulas que uno obtiene no son positivas, lo cual es molesto para mis propósitos.

¿Alguien conoce fórmulas positivas para estos productos internos? ¿Y sus $q$ -¿análogos para los grupos cuánticos?

EDITAR: Debo señalar, siguiendo el comentario de Allen: Estoy bastante seguro de que conozco un espacio vectorial que tiene la dimensión que es este producto interior. También hay una prueba de positividad usando la base canónica (todos los elementos que me interesan son positivo combinaciones lineales de elementos de base canónicos).

Estoy tratando de demostrar que un mapa suryectivo a este espacio vectorial es un isomorfismo, y hacerlo mediante la búsqueda de un conjunto que abarca el dominio que tiene la cardinalidad correcta.

Answer 1

Ben, mi papel en el Shapovalov formulario de dar una generación de series para las entradas de una matriz de Gram en el Corolario 3.4, y las entradas son evidentemente positivo. No es muy difícil deducir un q-versión de la generación de esta serie desde el papel por Chari y Jing que aparecen en las referencias. Esto no es realmente lo que quieres, aunque, dado que los cálculos sólo se aplican a la base de la representación.

En general, usted está pidiendo una pregunta difícil. El único lugar que puedo pensar a punto de que se Jantzen de la tesis donde se calcula el determinante de la Shapovalov forma de representaciones irreducibles de simple finito-dimensional de álgebras de Lie. Por supuesto, este no es el documento más fácil de obtener y es en alemán.

De lo contrario, podría intentar probar la Khovanov-Lauda conjetura de cyclotomic cocientes de la aljaba de Hecke álgebras y ver lo que usted obtiene. En cualquier caso, no es una representación teórica de la interpretación de la Shapovalov forma en irreducibles de los módulos de tipo a en el "Gradual Descomposición de los Números de" el papel de Brundan y Kleshchev.

Answer 2

Puede que esto no sea exactamente lo que quieres, pero te sugeriría que echaras un vistazo al artículo de Kashiwara ``On crystal bass of the q-analogue of the universal enveloping algebra'' (véase MR1115118 ).

En la sección 2.5, Kashiwara analiza la versión cuántica de la forma de Shapovalov. Más relevante para lo que quiero decir es la Proposición 3.4.4, que define/prueba la existencia de una modificación de la forma de Shapovalov definida en $U_q^-$ . A grandes rasgos, lo que hace es lo siguiente: Considere el emparejamiento de, por ejemplo, $F_1F_2F_1v_\lambda$ y $F_1^2 F_2v_\lambda$ , utilizando la forma de Shapovalov en $M(\lambda)$ y permitir $\lambda$ variar. Lo que se obtiene es $$P(\lambda)/(q-q^{-1})^3$$ donde $P$ es algún polinomio de Laurent en el $K_i$ y $q$ y evaluación en $\lambda$ significa configurar $K_i$ igual a $q^{(\alpha_i, \lambda)}.$ $P$ tiene un término de orden superior bien definido en $K_i$ y el coeficiente de este término es un polinomio de Laurent en $q$ . Sea $(F_1F_2F_1, F_1^2 F_2)$ sea ese coeficiente principal. Este será el producto interno de Kashiwara sobre $U_q^-$ hasta una potencia de $q$ . En general, al emparejar dos monomios en el $F_i$ aplicado a $v_\lambda$ el denominador de la ecuación anterior tiene un factor de $q_i-q_i^{-1}$ para cada $F_i$ en el primer monomio.

Tal y como Kashiwara plantea las cosas, está claro que el producto interior de dos monomios en el $F_i$ es un polinomio de Laurent en $q$ con coeficientes positivos. Para monomios $m_1$ y $m_2$ el producto interior será cero a menos que $m_1$ y $m_2$ tienen el mismo peso (es decir, ambos son los productos del mismo número de cada $F_i$ pero posiblemente en un orden diferente). Además, la suma de los coeficientes es el número de maneras de hacer coincidir cada $F_i$ en $m_1$ con un $F_i$ en $m_2$ para todos $i$ . Todo esto se deduce de las ecuaciones (3.3.1) y (3.4.6) del artículo de Kashiwara. Creo que se puede hallar la potencia de $q$ asociado a un emparejamiento dado disponiendo los monomios correctamente, trazando una línea entre cada par de emparejamientos y contando una contribución por cada cruce en el cuadro resultante. Por tanto, debería existir una fórmula completamente combinatoria.

Como ya he dicho, puede que esto no sea lo que usted quiere. Por ejemplo, esta construcción no depende de $\lambda$ . Pero tal vez esté relacionado.

En caso de que se esté preguntando por la conexión con las bases cristalinas (es decir, el título del artículo de Kashiwara), Kashiwara demuestra que el producto interior de dos elementos cualesquiera de la red cristalina $L(\infty)$ es regular en $q=0$ y una base cristalina es una base ortonormal para la evaluación $(\cdot, \cdot)_0$ del producto interior en $q=0$ . Por supuesto, para que esto sea cierto es necesario conseguir los poderes de $q$ derecho, cosa que no he hecho aquí.