Es tensoring con un módulo de representable iff es localmente libre de rango finito?

Question

Motivación:

Es agradable cuando usted puede pensar de los elementos de una $A$-módulo de $M$ como algunas secciones $A$-esquema de
$Y\to Spec(A)$. Es decir, los mapas de $Spec(A)\to Y$ tal que $Spec(A)\to Y \to Spec(A)$ es la identidad.

Lo que está mal con el "espace étalé":

Una forma de hacerlo es considerar los asociados gavilla $\tilde{M}$, y la forma de su "espace étalé" $\acute{E}t(\tilde{M})$. Observar que este espacio topológico es, naturalmente, una $X$-esquema (esencialmente por su construcción, como por $\acute{E}t$ de cualquier gavilla de conjuntos), y que $\Gamma(U,\acute{E}t(\tilde{M})) = \tilde{M}(U)$ abre $U\subseteq Spec(A)$.

No estoy contento con esta construcción en la que se ha "equivocado fibras": para $I\triangleleft A$, las secciones de $\acute{E}t(\tilde{M})$ (base cambiado a) un cerrado subscheme $Z(I)$, por ejemplo, un punto, no corresponden a $\widetilde{M/IM}$. Esto es sólo un ejemplo del hecho de que $\acute{E}t$ no respeto de cambio de base: dado $f:Spec(B)\to Spec(A)$, en general $\acute{E}t(f^* \tilde{M})\neq f^* \acute{E}t(\tilde{M})$.

Conclusión:

Quiero una construcción que se hace respecto del cambio de base. Esto es, para cualquier módulo de $M$$X$, quiero un $X$- $Y$ tal que para cualquier $X'\to X$, $\Gamma(X',Y_{X'}) = \tilde{M}_{X'}(X')$. Esto equivale a encontrar un esquema que representa el functor $B\mapsto B\otimes_A M$ $A$- álgebras de conjuntos.

La pregunta: (actualizado, gracias a algunos comentarios de fortiori y ratonero)

EGA I (1971) 9.4.10 menciona de pasada, sin pruebas, que este functor es representable por un esquema si y sólo si $M$ es localmente libre de rango finito.

• Si esto es correcto, ¿alguien sabe donde encontrar la prueba?

• Si no, ¿alguien sabe de un correcto (y útil) equivalente condición en $M$?

Hasta ahora, deduzco que:

• Es que no siempre es representable si $M$ no es finitely generados; ver esta pregunta anterior.

• Si $M$ tiene un pre-dual, dicen $N^\vee = M$, $\mathbb{V}(N)=Spec(Sym(N))$ por lo general no trabajo (véase a fortiori, el comentario de abajo)

(Esto puede no tener una respuesta útil, o quizás haya varios...)

Answer 1

Contrariamente a lo que supuse al principio, ahora creo que la pregunta tiene una respuesta excelente: el functor es representable si y sólo si $M$ es localmente libre, y la prueba está EGA I, 9.4.10.

Edit: esto es una respuesta a una versión anterior de la pregunta.

Answer 2

Supongamos que el functor es representada en el esquema de $G$, vamos a $e\colon\mathrm{Spec}(A)\to G$ ser la sección cero. Como en la pregunta anterior, EGA IV, 8.14.2 muestra que $G$ es localmente finito de presentación en $A$, y el infinitesimal criterio muestra que $G$ es suave sobre la $A$. Por lo tanto, $\Omega^1\_{G/A}$ es un local libre de $\mathcal O_G$-módulo de rango finito, por lo $e^\*\Omega^1\_{G/A}$ es un proyectiva $A$-módulo de rango finito, por lo tanto $\mathrm{Hom}(e^\*\Omega^1\_{G/A},A)$ es así. Por otro lado, $\mathrm{Hom}(e^\*\Omega^1\_{G/A},A)$ $A$valores de los puntos de la Mentira álgebra de $G$, por lo que puede ser calculada como $\ker(A[T]/(T^2)\otimes M\to A\otimes M)$, y este es isomorfo a $M$. (Compruebe que esto es realmente un isomorfismo de $A$-módulos.)

Answer 3

Este es un ejemplo donde la representabilidad falla. Si $R$ $A$- álgebra representating $\otimes_AM$ $A$- álgebras, y si $B\to C$ es un inyectiva mapa de $A$-álgebras, a continuación, $R(B)\to R(C)$ será inyectiva ($R(B)$$A$- álgebra de homs $R$$B$). Pero, por ejemplo, si $M=A/I$ "" $B/IB\to C/IC$ no es inyectiva (por ejemplo si $A$ es de los enteros, $I=(2)$, $B=A$, $C=A[1/2]$) así que ya estás muerto en el agua.

Edit: el énfasis de la pregunta ha cambiado, por lo ephasis de respuesta ha sido cambiado demasiado.

Answer 4

Decir que X es un esquema y E es un $\mathbf{A}^1$-lineal esquema de más de X (un esquema de grupo sobre X con una acción de la gavilla de los anillos de $\mathbf{A}^1$). Usted está preguntando cuando es posible E ser cuasi coherente. Si E es cuasi coherente y de finito tipo, a continuación, se admite una surjection a partir de un número finito de dimensiones de espacio vectorial F en X. Para cualquier punto de $e \in E$,

$\dim_{p(e)} E + \dim_e F = \dim_{p(e)} F$.

Esto implica que si la dimensión de una fibra de E sobre X saltos, la dimensión correspondiente de la fibra de F en E debe caer, lo cual es imposible.