Si $\cup \mathcal{F}=A$$A \in \mathcal{F}$. Demostrar que $A$ tiene exactamente un elemento.

Question

Estoy leyendo a través de Cómo demostrarlo por Velleman y estoy teniendo problemas con este ejercicio en la sección acerca de la Existencia y Unicidad de las pruebas. Aquí es el ejercicio:

Supongamos $A$ es un conjunto y para cada familia de conjuntos de $\mathcal{F}$ si $\cup \mathcal{F}=A$$A \in \mathcal{F}$. Demostrar que $A$ tiene exactamente un elemento.

Él indica que para la existencia y unicidad de las partes de la prueba que sería una buena idea utilizar la contradicción. He estado jugando con esta prueba, por un tiempo, pero me parece que no puede hacer ningún progreso sustancial.

Yo actuales idea es teniendo en cuenta que algunos de los casos donde para algunos de la familia de conjuntos $\mathcal{G}$, $A \in \mathcal{G}$ y $A \notin \mathcal{G}$. Pensé que si podía demostrar que si $A= \varnothing$ conducir a contradicciones, yo al menos podría decir que hay algo en $A$, e intenta demostrar que es único a partir de ahí. No he sido capaz de hacer ningún progreso, con esto, sin embargo. Cualquier ayuda con este problema sería muy apreciada!

Answer 1

Sugerencias: Para $A=\varnothing$, intente $\mathcal{F}=\varnothing$. Entonces a la conclusión de $\exists x\in A$ y considerar la posibilidad de $\mathcal{F} = \{\{x\},A\backslash\{x\}\}$.

Answer 2

Si $\mathcal F=\emptyset$,$\bigcup\mathcal F = \emptyset$, pero $\emptyset\notin\mathcal F$, por lo tanto, claramente,$A\ne\emptyset$.

Suponga $a\in A$. Deje $\mathcal F=\{A\setminus\{a\},\{a\}\}$. A continuación, $\bigcup F=A$ implica $A\in \mathcal F$. Desde $a\in A\ne A\setminus\{a\}\not\ni a$, llegamos a la conclusión de $A=\{a\}$.