Una Cuerda Atada Alrededor De La Tierra

Question

A decir que usted está de pie en el ecuador y tiene una cadena a continuación se ata alrededor de la línea ecuatorial (40,075 km), que es la longitud de la línea ecuatorial + 1 metro (40,075.001 km). ¿Cuál es la altura máxima que puede levantar la cadena fuera de la tierra? Se puede crear una función de la circunferencia del círculo (la tierra) y la cadena de producción de la distancia entre los dos si se estiró?

Supuestos:

• A modo de ilustración, el resultado sería tirado desde un único punto, haciendo un triángulo hasta que se reunió con la tierra, en la que se le siga la curvatura de la tierra. Similar a la nieve cono o O>
• La cuerda no se estira
• La tierra puede ser asumida como una esfera perfecta

Answer 1

Tenemos que resolver (con respecto a $d$) el trascendental ecuación: $$ 2\sqrt{(R+d)^2-R^2}+2R\arcsin\frac{R}{R+d}=\pi R+1 $$ o resolver (con respecto a $x=\frac{d}{R}$) el trascendental ecuación: $$ 2\sqrt{x^2+2x}+2\arcsin\frac{1}{1+x}=\pi+\frac{1}{R} $$ que es equivalente a: $$ \sqrt{x^2+2x}-\arctan\sqrt{x^2+2x}=\frac{1}{2R}.$$ Con el fin de solucionar $z-\arctan z=\frac{1}{2R}$ podemos aplicar el método de Newton, a continuación,$x=-1+\sqrt{z^2+1}$.

Desde $z$ es cercana a cero, $z-\arctan z\approx\frac{z^3}{3}$, por lo tanto: $$ d\approx \sqrt[3]{\frac{9R}{32}}\approx \color{red}{121.5\,m}.$$

Answer 2

Por favor, tenga en cuenta que la solución a continuación es esencialmente el mismo que el de la solución de Jack D'Aurizio.

Dibujar una imagen. Deje $P$ ser el pico de la cuerda estirada, y deje $C$ ser el centro de la Tierra. Deje $G$ ser el punto en la superficie de la Tierra que está en la línea $PC$, y deje $T$ $T'$ ser los puntos de tangencia de la cadena con el Ecuador después de la cadena ha sido empujado hacia arriba a la altura total $PG$.

Deje $r$ ser el radio de la Tierra, y deje $\delta r$ ser el exceso de cantidad de la cadena, además de a $2\pi r$. Tenga en cuenta que $\delta$, en su ejemplo, es muy pequeña.

Deje $\theta=\angle TCG$ tenga en cuenta que $\theta$ es pequeña. La clave de la ecuación es $$\delta r=2r\tan\theta -2r\theta.$$ Esto es debido a que $2r\tan\theta$ es la suma de las longitudes de los dos segmentos de tangente $PT$$PT'$, mientras que $2 r\theta$ es la cantidad de cadena ahorrado porque ya no cubre el arco menor $TGT'$. La diferencia es igual a la cantidad de $\delta r$ extra de la cadena de la que disponemos.

Utilizando el hecho de que $\tan\theta\approx \theta +\frac{\theta^3}{3}$, obtenemos $$\theta\approx \left(\frac{3\delta}{2}\right)^{1/3}.$$

Ahora que conocemos $\theta$, podemos encontrar la altura de la $PG$ de la cúspide de la cadena. En el diagrama, podemos ver que $PG=r(\sec\theta-1)$. Desde $\theta$ es pequeña, esto es bien aproximada por $\frac{\theta^2}{2}$, y terminamos con $$PG\approx \frac{r}{2}\left(\frac{3\delta}{2}\right)^{2/3}.$$

Answer 3

La mitad de un metro. Usted toma el relevo extra medidor y la levante la mitad de un metro de alto.