Una prueba de que el derecho adjoints preservar los límites?

Question

Asumir que las categorías $\mathscr{B}$ $\mathscr{C}$ tienen todos los límites de la forma $\mathbf{J}$. A continuación, hay una mancha de la prueba de que si $G\colon \mathscr{C} \to \mathscr{B}$ es un derecho adjoint, $G \circ Lim_\mathscr{C} \cong Lim_\mathscr{B} \circ [\mathbf{J}, G]$.

[$Lim_\mathscr{C} \colon [\mathbf{J}, \mathscr{C}] \to \mathscr{C}$ envía un diagrama de $D \colon \mathbf{J} \to \mathscr{C}$ a los vértices de un límite de cono sobre $D$. $[\mathbf{J}, G]$ es un functor que, actuando sobre los objetos en $[\mathbf{J}, \mathscr{C}]$ envía $D$$GD$. Y la mancha de la prueba es para tomar a la izquierda adjoints, señalando que la izquierda adjunto de $Lim$ es una constante functor, demostrar muy fácilmente que el material compuesto izquierda adjoints son iguales, por lo que su derecho adjoints debe ser igual a isomorfismo natural. Pero la prueba de detalles de hacer no importa aquí.]

Ahora que la he visto muy rápidamente dijo: -- por ejemplo, en las notas de un curso por Pedro Johnstone-que este resultado muestra que, al menos cuando se trata con las categorías que tienen todos los límites de la forma $\mathbf{J}$, derecho adjoints la conservación de esos límites.

La definición habitual de "$G$ preserva límites", es que si $(L, \pi_J)$ es un límite de cono sobre $D$, $(GL, G\pi_j)$ es un límite de cono sobre $GD$.

Pero, ¿la declaró resultado establecer que? Uno de los problemas es que no todos los límites de cono sobre $D$ tiene un vértice $Lim_\mathscr{C}D$ - para el functor $Lim_\mathscr{C}$ tiene que ser definido en términos de una opción de límite de conos $D$. Estrictamente hablando, la mancha de la prueba no (tal y como está, sin aumento) nos dicen lo $G$ lo hace a los demás límite de conos. [Añadido: OK: podemos probar que si $G$ conserva un límite de cono sobre $D$ conserva todos los límites de conos $D$, y, a continuación, hacer uso de este hecho aquí.]

Pero más fundamentalmente, incluso cuando tenemos un límite de cono con vértice $Lim_\mathscr{C}D$, lo que muestra es que la aplicación de $G$ da un resultado $X$ que un cierto bijection mapas para el vértice de un límite de cono sobre $GD$. Pero realmente no nos dicen que $X$ es el vértice de un límite de cono sobre $GD$ como se requiere para la preservación llena. O al menos eso parece.

Dado Peter Johnstone puede hacer mal a nadie(!) donde me estoy perdiendo el punto?

Answer 1

No creo que esta prueba demuestra plenamente la asignación explícita de cualquier límite de cono sobre $D$ a un límite de cono sobre $GD$ que desee. Eso es un duro reclamo a justificar, precisamente, por eso tal vez me puede sugerir cómo la mancha de la prueba podría ser refinado para obtener exactamente la reclamación que usted desea. Deje $J^l$, en general, de cono sobre$J$, $J$ con un distinto objeto inicial adjunta. Entonces, podemos refinar el límite functor a un functor $\lim:[J,\mathcal{C}]\to [J^l,\mathcal{C}]$, $\lim D$ simplemente una opción de límite de cono sobre $D$. Este límite functor es derecho medico adjunto del restricton a $J$, y el mismo argumento que usted se refirió a la muestra que $G$ enviar el límite de cono en $D$ especificado por $\lim$ a algo naturalmente isomorfo al límite especificado de cono en $GD$, es decir, un límite de cono. Entonces esto compone con el isomorfismo natural de cualquier límite de cono en $D$ a la precisada uno para obtener el máximo resultado deseado.

Answer 2

Bueno, en realidad no es una opción cuando la definición de cualquiera de las $Lim_{\mathscr B}$ o $Lim_{\mathscr C}$.
Sin embargo, esta opción elige un objeto sólo entre isomorfo objetos, desde cualquiera de los dos limitar los conos son naturalmente isomorfos (de ahí su cumbre vértices son isomorfos).
Nota en el otro lado, si $X$ es un límite vértice de un diagrama de $D$, e $f:Y\to X$ es un isomorfismo, luego componer cada flecha por $f$, obtenemos una limitación de cono con vértice $Y$.

Por otra parte, supongamos que hemos fijado un límite de vértice $L_D:=Lim_{\mathscr C}D$ (con la limitación de cono!) para cada diagrama de $D:{\bf J}\to\mathscr C$, y también nos revisión arbitraria isomorphisms $f_D:L'_D\to L_D$. A continuación, $Lim'_{\mathscr C}(D):=L'_D$ (con la limitación de cono compuesto por $f_D$) será igualmente legales límite functor.

Así que, sabiendo la $G\circ Lim_{\mathscr C}\simeq Lim_{\mathscr B}\circ[{\bf J},G]$ es suficiente, y se hace expresa que $G$ preserva límites de la forma $\bf J$ $G(Lim_{\mathscr C}(D))\cong Lim_{\mathscr B}(GD)$ expresa nada, pero ese $G(Lim_{\mathscr C}(D))$ es un límite de diagrama de $GD$ (con la correspondiente limitación de cono).

Dejando $L:=Lim D$, y el uso de connaturalidad de estos isomorphisms $\phi_D$ a la limitación de cono $\pi:\Delta L\to D$ como morfismos de la categoría $[{\bf J},\mathscr C]$, se obtiene la propiedad conmutativa de la plaza $$\matrix{G(L) & = & G(L) \\ \Vert && \downarrow & \hspace{-2.4pc} \scriptstyle{Lim(G\pi)} \\ G(L) &\underset{\phi_D}\to& Lim(GD) }$$ donde $Lim(G\pi)$ es la flecha inducida por factorización $G\pi$ a través de la $Lim_{\mathscr B}$-cono.