Hay una Formalización de Cauchy $F - E+V = 2$ prueba?

Question

¿Alguien puede proporcionar, o me dirija a un formalizado versión de Cauchy es la prueba de que para cualquier poliedro convexo con $F$ caras, $E$ bordes y $V$ vértices que $F - E + V = 2$. Estoy dispuesto a aceptar el poliedro puede ser convertido en un gráfico a través de la proyección estereográfica, y que el proceso de triangulación, será un éxito. Lo que yo tengo problemas con es por eso que esta estrategia de eliminación de triángulos siempre resultará en un único y aislado triángulo:

1. Quitar todos los triángulos que comparten exactamente dos bordes y tres vértices con el límite.

2. Elegir un triángulo que comparte exactamente dos vértices y un borde con el límite.

3. Repita los pasos 1 y 2.

Específicamente ¿por qué nunca "dividir" el límite de nuestro gráfico en dos desconectado polígonos de esta manera?

Answer 1

Sí, es posible dividir el gráfico en dos partes desconectadas. Simplemente decidir no hacerlo.

Puede ser más fácil, en lugar de pensar en la descomposición de una existente gráfico, a pensar de como construir el gráfico deseado desde un único triángulo por la adición de bordes/loops/vértices uno por uno. Entonces no hay ningún riesgo de terminar con un inválido gráfico a lo largo del camino.