Relación entre Hölder la continuidad y la diferenciabilidad de movimiento Browniano

Question

Me encontré con el siguiente ejercicio:

Deje $(B_t)_{t\geq 0}$ ser un movimiento Browniano. Muestran que, casi seguramente, no hay ningún intervalo de $(r,s)$ que $t\to B_t$ es Hölder continua de exponente $\alpha$ cualquier $\alpha>\frac{1}{2}$. Explicar la relación de este resultado a la diferenciabilidad de las propiedades de $B$.

Estoy contento con la primera parte, pero me pregunto cómo esto se relaciona con la la diferenciabilidad de $B$. Esta propiedad por sí sola no es lo suficientemente fuerte como para asegurar que las rutas de acceso son diferenciable (que lo son). ¿Tal vez implicaría que $B$ es casi seguro que no es diferenciable en cualquier intervalo abierto?

Así que sería instructivo para responder a la pregunta:

Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ no es Lipschitz en cualquier intervalo abierto, entonces cada intervalo abierto contienen un punto en el que $f$ no es derivable?

Gracias.

Answer 1

La respuesta a la segunda pregunta es sí. Suponiendo que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ no es Lipschitz en cualquier intervalo abierto, vamos a $(a,b)$ ser arbitrario no vacío intervalo abierto. Por supuesto, existen $x_1,y_1$ $a<x_1<y_1<b$ tal que $|f(y_1)-f(x_1)| > y_1-x_1$. Desde $f$ no es Lipschitz en $(x_1,y_1)$,$x_2,y_2$$x_1<x_2<y_2<y_1$$|f(y_2)-f(x_2)|>2(y_2-x_2)$. Continuando de manera inductiva, obtenemos dos secuencias de $(x_n)$ $(y_n)$ con $$a<x_1<x_2<\ldots<y_2<y_1<b$$ such that $$\frac{|f(y_n)-f(x_n)|}{y_n - x_n}>n$$ for all $n$. Then $x_n \x^*$ and $y_n \y^*$ with $x^* \le y^*$. If $x^*<y^*$, then the function $f$ is unbounded on $[x_1,y_1]$, so there exists a point of non-differentiability in $[x_1,y_1] \subgrupo de (a,b)$. Otherwise if we assume that $f$ is differentiable at $x^*=y^*$ with $f'(x^*)=L$, we get$$f(x_n) = f(x^*) + (x_n-x^*)a_n\quad \text{ and } \quad f(y_n) = f(x^*) + (y_n-x^*)b_n $$with $L = \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} b_n.$ Subtracting these we get $$|f(y_n) - f(x_n)| \le (y_n-x_n)(|a_n|+|b_n|), $$ so $$ \frac{|f(y_n)-f(x_n)|}{y_n-x_n} \le |a_n|+|b_n| \to 2|L|$$ como $n\to\infty$, contradiciendo la estimación anterior de que esta secuencia de cocientes es ilimitado. Esto demuestra que $f$ no es diferenciable en a $x^*$.