Calcular los puntos de intersección de dos elipses

Question

Usé las ecuaciones encontradas en la página de Paul Bourke "Circles and spheres" para calcular los puntos de intersección de dos círculos:

$P_3$ es lo que intento obtener, pero ahora quiero hacer lo mismo con dos elipses.

Calcular $h$ es la parte complicada. Con círculos regulares, se puede hacer con el Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$, ya que ya conocemos $r_0$ (el radio): $$h = \sqrt{a^2 + r_0^2}.$$

Con elipses parece mucho más complicado. No sé cómo calcular $h$. Ya no hay un solo radio: hay $\operatorname{radioX}$ y $\operatorname{radioY}$.

Dados $\operatorname{radioX}$, $\operatorname{radioY}$ y los puntos centrales $(x,y)$ de cada elipse, ¿cómo encuentro los dos puntos de intersección? (Nota: las elipses tienen garantizados dos puntos de intersección en mi aplicación específica).

Answer 1

Dos elipses pueden intersectarse en hasta $4$ puntos. El sistema de dos ecuaciones en dos variables es equivalente a resolver un polinomio de grado $4$ en una variable. En tu caso, se sabe que dos de las soluciones de este polinomio son reales, pero esto no simplifica nada algebraicamente excepto en algunos casos donde hay alguna relación geométrica especial entre las elipses. Una solución exacta en términos de las ecuaciones que definen las elipses tendrá el mismo complicado conjunto de radicales anidados que la fórmula para resolver una ecuación cuártica general. A menos que por alguna razón inusual realmente necesites la respuesta algebraica con precisión infinita, es más simple resolver numéricamente los dos puntos de intersección.

Answer 2

Debes usar secciones cónicas. Digamos que C1 es la sección cónica de la primera elipse y C2 es la sección cónica de la segunda elipse. Entonces, si C1 y C2 se intersectan, entonces también su combinación lineal C3=C1+t.C2 debe intersectar. Elige t de modo que C3 sea degenerada, eso significa que det(C3)=0. Este determinante conduce a una ecuación cúbica para t. Así que obtienes hasta 3 valores de t. Para cada t evalúa C3. Dado que C3 es degenerada, representa un sistema de dos líneas (pueden ser iguales). Calcula la intersección de ambas líneas con la primera elipse y prueba si el punto de intersección está en la segunda elipse. Esto te dará todos los puntos de intersección de las dos elipses (algunos resultados pueden estar duplicados, pero debería ser fácil detectarlos y evitarlos).

Por cierto, para simplificar el álgebra, es una buena idea transformar las primeras elipses de modo que una de ellas esté en el origen con el eje en el eje cartesiano. Esa elipse sería entonces x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 y la sección cónica es muy simple:

(b^2, 0, 0)
(0, a^2, 0)
(0, 0, -a^2.b^2)

Answer 3

Deja que tus elipses tengan sus focos en el eje X. Luego calcula los puntos de intersección de ambas elipses resolviendo el sistema:

x^2/a1 + y^2/b1 = 1

y

x^2/a2 + y^2/b2 = 1

h será un Y y -Y de estos dos puntos de solución.