Parte Fraccionaria Doble Sumatorias

Question

En el intento de profundizar mi comprensión de Dedekind sumas, he probado de la siguiente identidad $$ \sum_{i = 0}^{t} \sum_{j = 0}^{b(t-i)} \left \lbrace c \left( t - i - \frac{j}{b} \right) \right \rbrace = \frac{t(t+1)}{4}(b - \gcd(b,c)), $$ donde $b,c,t \in \mathbb{N}$ $\lbrace \cdot \rbrace$ denota la parte fraccionaria de la función.

Me gustaría calcular los siguientes más general el doble de las sumas $$ \sum_{i = 0}^{t} \sum_{j = 0}^{\lfloor b(t-i/a) \rfloor} \left \lbrace c \left( t - \frac{i}{a} - \frac{j}{b} \right) \right \rbrace \qquad \text{y} \qquad \sum_{i = 1}^{t} \sum_{j = 1}^{\lfloor b(t-i/a) \rfloor} \left \lbrace c \left( t - \frac{i}{a} - \frac{j}{b} \right) \right \rbrace \qquad a, b, c, t \in \mathbb{N}, $$ donde $\lfloor \cdot \rfloor$ denota la función del suelo. Las sumas claramente desaparecer si $a$ $b$ son divisores de $c$ (por la fuga de la parte fraccional) y (espero) crecer como $O(t^{2})$ lo contrario. Son tales sumas en la literatura, incluso para algunos casos especiales de pares coprime coeficientes de $a, b$$c$? Cualquier ayuda y/o sugerencias son ciertamente apreciado!

Más difícil Problema(s): Si el de arriba es trivial, entonces supongamos $a, b, c$ $t$ son reales y calcular las siguientes sumas $$ \sum_{i = 0}^{\lfloor un t \rfloor} \left \lbrace b \left( t - \frac{i}{a} \right) \right \rbrace \qquad \text{y} \qquad \sum_{i = 0}^{\lfloor un t \rfloor} \sum_{j = 0}^{\lfloor b(t-i/a) \rfloor} \left \lbrace c \left( t - \frac{i}{a} - \frac{j}{b} \right) \right \rbrace $$ así como $$ \sum_{i = 1}^{\lfloor un t \rfloor} \left \lbrace b \left( t - \frac{i}{a} \right) \right \rbrace \qquad \text{y} \qquad \sum_{i = 1}^{\lfloor un t \rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor b(t-i/a) \rfloor} \left \lbrace c \left( t - \frac{i}{a} - \frac{j}{b} \right) \right \rbrace. $$

Answer 1

Deje $a, b$ $c$ ser enteros positivos con ningún factor común, es decir, $\gcd(a,b,c) = 1$. Definir $a^{\prime} = \gcd(b,c)$, $b^{\prime} = \gcd(c,a)$, $c^{\prime} = \gcd(a,b)$ y $d = a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}$.

La siguiente identidad se tiene: \begin{align} \sum_{i = 0}^{at} \sum_{j = 0}^{\lfloor b(t-i/a) \rfloor} \left \lbrace c \left( t - \frac{i}{a} - \frac{j}{b} \right) \right \rbrace = \tfrac{ab -d }{4} t^{2} + \gamma t \end{align} donde $t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ y \begin{align} \gamma & = a^{\prime} \ \mathfrak{s}(\tfrac{bc}{d},\tfrac{aa^{\prime}}{d}) + b^{\prime} \ \mathfrak{s}(\tfrac{ca}{d},\tfrac{bb^{\prime}}{d}) + c^{\prime} \ \mathfrak{s}(\tfrac{ab}{d}, \tfrac{cc^{\prime}}{d}) + \tfrac{1}{4}(a - a^{\prime} + b - b^{\prime} + c^{\prime} ) - \tfrac{a^{2} b^{2} + c^{2} (c^{\prime})^{2} + d^{2}}{12 a b c}. \end{align} Aquí, $\mathfrak{s}(p,q) = \tfrac{1}{4q} \sum_{k = 1}^{q-1} \cot(\tfrac{\pi k}{q}) \cot( \tfrac{\pi k p}{q} )$ es el estándar de Dedekind suma. Esta más general de la identidad se simplifica a la identidad de arriba (en el post) así como $$ \sum_{i = 0}^{a} \sum_{j = 0}^{\lfloor t - i/a \rfloor} \left \lbrace c \left( t- \frac{i}{a} - j \right) \right \rbrace = \frac{t(t+1)}{4} (a - \gcd(a,c)), $$ después de una aplicación de la Dedekind Suma de la Ley de Reciprocidad y de tomar $b = 1$.