Cómo integrar $\int_a^b (x-a)(x-b)\,dx=-\frac{1}{6}(b-a)^3$ de forma más rápida?

Question

$\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b)\,dx=-\frac{1}{6}(b-a)^3$

$\displaystyle \int_a^{(a+b)/2} (x-a)(x-\frac{a+b}{2})(x-b)\, dx=\frac{1}{64}(b-a)^4$

En lugar de expandir el integrando, o hacer integración por partes, ¿hay alguna forma más rápida de calcular este tipo de integral?

Answer 1

Una forma es utilizar La regla de Simpson .

Sin ella, se podría discutir qué es más rápido, pero:

Si $A=(a+b)/2$ y $D=(b-a)/2$ , entonces su primer integrando es $$ (x-A+D)(x-A-D)=(x-A)^2-D^2. $$ Así, $$ \begin{aligned} \int_a^b (x-a)(x-b)\,dx &=\frac{1}{3}\bigl((b-A)^3-(a-A)^3\bigr)-2D^3\\ &=\frac{1}{3}\bigl(D^3+D^3)-2D^3=-\frac{1}{6}(b-a)^3. \end{aligned} $$ Para el segundo se escribe el integrando como $$ \bigl((x-A)^2-D^2\bigr)(x-A)=(x-A)^3-D^2(x-A) $$ y hacer un cálculo similar. Te lo dejo a ti.

Answer 2

Si desea un argumento geométrico (que se puede visualizar mejor para su primera integral), observe que

$\int_a^b (x - a)(x - b)\, dx = -\int_a^b\int_{x - b}^0\int_0^{x - a} 1 \, dzdydx$

Que es negativo el volumen de una pirámide con área de base $(b - a)^2/2$ y la altura $b -a$ . Por lo tanto, el valor de su integral es $-(b - a)^3/6$ .

Answer 3

Si buscas métodos elementales no va a haber uno más rápido que expandir la integral o usar la integración por partes. Para otra solución podrías recordar la fórmula, y creo que lo siguiente heurística es una buena mnemotecnia para ello:

Sabemos que $\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx$ es un polinomio de grado $3$ en "las variables $a$ y $b$ ", por lo que si fijamos $b$ podemos pensar en $\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx$ como un polinomio $p(a)$ de grado $3$ . Para determinar $p(a)$ Obsérvese que para $a$ cerca de $b$ tenemos $$ \int_a^b(x-a)(x-b)\,dx\approx (b-a)(b-a)(a-b). $$ Esta es una estimación terrible, pero nos dice que $p(a)$ debe tener un cero de orden $3$ en $b$ Así que $p(a)=C(b-a)^3$ para algunos $C$ que podemos determinar calculando $p(a_0)$ para una elección adecuada de $a_0$ . Por ejemplo $$ Cb^3=p(0)=\int_0^bx(x-b)\,dx=\frac{b^3}{3}-\frac{b^3}{2}=-\frac{b^3}{6}. $$

Para la segunda integral funciona el mismo procedimiento. En ese caso esta otra terrible estimación $$ \int_a^{\frac{a+b}{2}}(x-a)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)(x-b)\,dx\approx\left(a-\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\left(a-\frac{a+b}{2}\right)(a-b) $$ nos dice que $p(a)$ debe tener un cero de orden $4$ en $b$ y calculando $p(0)$ (por ejemplo) determina de nuevo $p(a)$ .

Answer 4

Primero se pueden eliminar los límites de integración mediante la transformación lineal $a+(b-a)t$ :

$$\int_a^b (x-a)(x-b)\,dx=(b-a)^3\int_0^1t(t-1)\,dt.$$

Expandiendo mentalmente el polinomio, la integral es $\frac13-\frac12=-\frac16$ .

Para el otro caso, $a+(b-a)t/2$ : $$ \int_a^{(a+b)/2} (x-a)(x-\frac{a+b}{2})(x-b)\, dx=\frac{(b-a)^4}{16}\int_0^1t\left(t-1\right)(t-2)\,dt.$$

También mentalmente, $(\frac14-1+1)$$ \frac1{16}=\frac1{64}$.

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Además, aprovechando un comentario de @mickep, se aplica la fórmula de Newton y

$$\int_0^1t(t-1)\,dt=\frac16\left(0-4\frac12\frac12+0\right)=-1,$$

$$\int_0^1t(t-1)(t-2)\,dt=\frac16\left(0+4\frac12\frac12\frac32+0\right)=\frac14.$$

Answer 5

Sugerencia . Se puede utilizar el hecho de que $$ 4uv=(u+v)^2-(u-v)^2 \tag1 $$ dando $$ \begin{align} 4\int_a^b (x-a)(x-b)\:dx=4\int_a^b \left(x-\frac{a+b}2\right)^2\:dx-\int_a^b (b-a)^2\:dx \tag2 \end{align} $$ que es más fácil para evaluar.

Entonces, uno tiene $$ \begin{align} &4\int_a^b (x-a)(x-b)\left(x-\frac{a+b}2\right)\:dx \\\\&=\int_a^b \left[4\left(x-\frac{a+b}2\right)^2- (b-a)^2\right]\left(x-\frac{a+b}2\right)\:dx \\\\&=4\int_a^b \left(x-\frac{a+b}2\right)^3\:dx- (b-a)^2\int_a^b\left(x-\frac{a+b}2\right)\:dx\tag3 \end{align} $$ que es más fácil para evaluar.