Deje $G$ un grupo. Deje $x\in G$. Asumir que por cada $y\in G, xyx=y^3$. Demostrar que $x^2=e$ $y^8=e$ todos los $y\in G$.

Question

Para poner esto en contexto, esta es mi primera semana de álgebra abstracta.

Deje $G$ un grupo. Deje $x\in G$. Asumir que por cada $y\in G, xyx=y^3$.
Demostrar que $x^2=e$ $y^8=e$ todos los $y\in G$.

Una sugerencia se agradece.

Answer 1

SUGERENCIA de La relación se mantiene para cada elemento en el grupo. ¿Qué elemento especial que hace cada grupo?

Answer 2

$\textbf{Full answer:}$

Deje $x\in G$. Supongamos $(\forall y\in G)(xyx=y^3)$.

i) $y=e$ conseguir $xyx=xex=x^2=e=e^3=y^3$. (El OP ya conocía esta parte).

(ii) La hipótesis es $(\forall y\in G)(xyx=y^3)$. Deje $y\in G$ ser tomado de manera arbitraria. Por la hipótesis se ha $xyx=y^3$. Cubicación ambos lados obtenemos $(xyx)(xyx)(xyx)=y^9$, es decir, $xy(x^2)y(x^2)yx=y^9$. Por lo tanto,$xyyyx=y^9$, $xy^3x=y^9$. Recordando que $y^3=xyx$ es de la siguiente manera $y^9=xy^3x=x(xyx)x=x^2yx^2=eye=y$. De $y^9=y$ se puede concluir que el $y^8=e$ multiplicando por $y^{-1}$.

Answer 3

Sugerencia: El objeto de $x$ es fijo, yo diría que es $a$. Supongo que te han demostrado que, a $a^2=e$.

Para cualquier objeto $u$,$aua=(u)(u)(u)$. Deje $u=aya$.