Pizza Hut de Matemáticas (de igual lados conjuntos de números con la misma suma y el producto)

Question

Pizza Hut, en honor de $\pi$ day, publicado este problema:

Nuestra escuela de puzzle-club se reúne en una de las aulas todos los viernes después de la escuela.

El pasado viernes, uno de los miembros dijo: "yo he escondido una lista de números en este sobre que sumar el número de esta habitación." Una chica dijo, "Que obviamente no es suficiente información para determinar el número de la habitación. Si usted nos dijo que el número de números en el sobre y su producto, que sería suficiente para trabajar con ellos de todo?"

Él (después de garabatear durante algún tiempo): "No". Ella (después de garabatear durante algún tiempo más): "bueno, al menos he trabajado fuera de su producto."

¿Cuál es el número de la sala de clases nos encontramos?"

Hay un no-fuerza bruta manera de hacer este problema? Además, he encontrado varios del mismo tamaño de los conjuntos de números con el mismo producto y de la suma, así que me imagino que estoy completamente malentendido, el problema de todos modos (por ejemplo, 2 triples que se suma a 23 y se multiplican para 360, 2 triples que se suma a 22 y se multiplican para 360, 2 triples que se suma a los 21 y multiplicar a 240, etc.).

Answer 1

Bueno, aquí está mi solución (tl;dr mi respuesta es 12)

En primer lugar, estamos buscando un número. Podemos escribir todas las posibles único "de la suma de las representaciones" de ese número con diferente longitud. Cada representación es una lista ordenada de números. 3 por ejemplo, puede ser representado como [[3], [1 2], [1 1 1]]. A continuación, para cada representación se puede calcular el producto de los elementos en la misma, para 3 [3, 2, 1]. También para cada representación podemos encontrar el número de elementos en ella: [1, 2, 3]. Los que estamos en la "suma de las representaciones" de un número que queremos encontrar representaciones que tienen el mismo producto de los elementos, pero sólo uno. Lo siento, no sé cómo explicarlo mejor (el inglés no es mi lengua materna). Pero permítanme explicar por qué el 23 no es una respuesta.

De hecho, [4 9 10] y [5 6 12] son dos de la suma de las representaciones, de 23 de producto es igual a 360. Pero, hay otro representaciones de las 23: [1 2 8 12] y [2 2 3 16] que dan producto 192. Así, la chica no sería capaz de adivinar el producto en el caso de la habitación número 23, porque hay un montón de grupos de representación (226), que le dará el mismo producto.

Larga historia corta, yo no era capaz de encontrar un número menor de 12 que me iba a dar dos representaciones con el mismo producto. 12=1+3+4+4=2+2+2+6. 13 ya tenemos dos diferentes repetido productos: 36 ([1 6 6] y [2 2 9]) y 48 ([1 1 3 4 4] y [1 2 2 2 6]). Como se puede observar, cualquier otro número mayor de 13 tendrá al menos dos representaciones con el producto 36 y al menos dos con el producto 48. Así, la 12 es la única solución.

Me siento bastante complicada explicación. Yo no estoy haciendo matemáticas a nivel profesional, así que no sé que toda la terminología de la teoría de los números. Estaré encantado de responder a cualquier pregunta.

Answer 2

Creo que vale la pena dar un paso atrás un poco y ver exactamente qué es lo que se dice, y por lo tanto lo que se conoce. Creo que este problema puede ser engañosamente involucrados.

En primer lugar, el problema está redactado mal. No tenemos más remedio que pensar que la chica no sabe el número de la habitación, como ella dice, "Que obviamente no es suficiente información para determinar el número de la habitación."

Segundo, el muchacho dice que sabiendo el número de los números y su producto, no sería suficiente para el trabajo de todos ellos. Por "todos ellos," debemos suponer que el niño no sólo significa la suma, pero cada individuo de número en la suma.

En tercer lugar, desde sólo sabiendo esto, la niña es capaz de determinar el producto. Esto significa dos cosas. Uno, el número de la habitación en cuestión debe tener una única pareja (supongo que no podrían ser más de dos) de los conjuntos de números que suman el número de habitación y tienen el mismo producto. Es decir, el número de la habitación no puede ser de 21 con 3 números que aparecen en el sobre, por ejemplo, porque {1,8,12} y {2,3,16} tanto suma a 21 y multiplicar hasta el 96, pero {2,7,12} y {3,4,14} también se suma a los 21 pero se multiplican a 168. Sabiendo que el número y el producto no es suficiente para determinar todos los números de la lista en sí no es suficiente únicamente para determinar el producto.

El problema es que la chica no tiene razón para saber, de lo que ella ha dicho, lo dicho en el párrafo anterior. Si el número de la habitación fueron 21, el muchacho podía decirle la misma cosa que él ya hizo decirle, y ella todavia no sería capaz de determinar los números de forma única, ni sería capaz de determinar el producto. Creo que hay algún descuidado redacción que hace que el problema por desgracia imposible resolver como se indica.

Answer 3

Para resolver esto implica la realización de una serie de supuestos.

Asunción 0: Los personajes son infinitamente inteligente, y no está mintiendo, etc.

Hipótesis 1: La lista de números de todos los enteros positivos. De lo contrario, el problema es claramente irresoluble. 12=0+0+-1+13+sqrt(12)-sqrt(12) etc. Cada número de la habitación se podría hacer con una suma de una lista infinita de dar cualquier producto deseado.

Hipótesis 2: La chica que ahora se puede averiguar el número de la habitación.

De ello se desprende que: La escuela tiene un conjunto finito de salones de clase y tanto la chica y el chico sabe que esto. Esta es la única manera de que la chica puede descartar el número de la habitación decir, 13. Debido a que la habitación número 13 no existe en su escuela (o de lo contrario es inaccesible, pero la razón por la que se descartó que está fuera del alcance de este problema!). Si la habitación 13 ¿existe, ella no sería capaz de decir "bueno, al menos he trabajado fuera de su producto." basado en el chico de la respuesta de "no".

La única manera como el lector puede saber que el 13 es el descuento es porque debemos suponer que la habitación 13 no existe en su escuela y la chica lo sabía. Esa es la pieza de información que la niña sabe, pero nosotros, como lector, no se debe inferir.

Debemos descartar la existencia de cualquier número de habitación que tiene más de un duplicado del producto, tales como la habitación número 13 con 2 de esos productos duplicados: 36 y 48. 36 ([1 6 6] y [2 2 9]) y 48 ([1 1 3 4 4] y [1 2 2 2 6]) Cualquier habitación número mayor que 12 tendrá, al menos, los productos de 36 y 48 de 2 grupos diferentes del mismo tamaño (por virar en 1s a la lista). 12 es el único número de la habitación con exactamente 1 duplicado del producto (48), que tiene múltiples suma de las representaciones del mismo tamaño (1+3+4+4=2+2+2+6). Cualquier número de la habitación a menos de 12 sería descartado porque el chico de la respuesta habría sido "sí".

El autor de este problema no es otro que John H. Conway, así que era resistente a aceptar que esto es sólo un mal redactadas problema sin solución. Estoy muy satisfecho a darse cuenta de que el problema es solucionable, y requiere muy sutil supuestos. 12 es el correcto número de habitación, pero también hemos aprendido que el 12 es el más alto número de habitación en la escuela.

Answer 4

Es importante para la captura de dos cosas 1] la representación de números en los sets, 2] producto de esos números.

Si conoce el producto y el número correspondiente de los números en el conjunto, a continuación, en realidad se puede determinar el número de la Habitación. Por ejemplo, digamos que el producto es de 12 el conjunto se convierte en [1, 12], [4,3] [2,2,3]. Ahora aquí tenemos dos, número 2 establece que tiene tanto la suma diferente, así que no puede predecir el número de la habitación, pero dado que hay tres números podemos predecir el número de la habitación como a las 7

Así, a medida que aumente el producto (de 12 a 13, 14, 15, 16 y así sucesivamente) usted puede conseguir un número diferente de conjuntos con distintos suma y eso es interminable secuencia.

La única posible secuencia se ve aquí es que el valor del producto 2 y el conjunto como [1,2] (ya que tiene más de un número, como se dijo en cuestión) con la suma de 3, que me parece como el número de la habitación así.