Las soluciones de $y^{\prime \prime}+y=g$ están acotadas

Question

Supongamos que $g$ es una función real continua, diferenciable, creciente y acotada.

¿Cómo se puede demostrar que las soluciones de la ecuación diferencial $(E)$

$$y^{\prime \prime}+y=g$$ están acotadas? ¿Y que $(E)$ tiene una solución única que tiene un límite finito en $\infty $?

Answer 1

Dado que hasta ahora no se ha publicado ninguna solución, proporcionaré una aunque creo que podría haber un enfoque más directo a este problema.

Se trata de un sistema dinámico lineal de la forma $$\dot{x}=Ax(t)+b(t)\\ y(t)=Cx(t)$$ con $x:=[y\quad\dot{y}]^T$ el vector de estado, $A=\left[\matrix{0 & 1 \\ -1 & 0}\right]$, $C=[1\quad 0]^T$ y $b(t)=[0\quad g(t)]^T$. Para condiciones iniciales $x(t_0)=x_0$, la solución es $$x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^t{e^{A(t-s)}b(s)ds}$$ Para la forma específica de $A$ tenemos $$e^{At}=\left[\matrix{\cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t}\right]$$ y por lo tanto $$y(t)=Ce^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^t{\sin(t-s)g(s)ds}$$ El primer término en el lado derecho de la ecuación anterior es una combinación lineal de términos $\sin t$ y $\cos t$, por lo que la acotación de $y(t)$ puede demostrarse si se demuestra que $$\int_{t_0}^t{\sin(t-s)g(s)ds}$$ está acotado o equivalente si ambos términos $$\int_{t_0}^t{\sin(s)g(s)ds}\\ \int_{t_0}^t{\cos(s)g(s)ds}$$ se demuestran acotados.

Además, dado que $g$ es creciente y acotado, el límite $\lim_{t\rightarrow\infty}g(t)=g^*<\infty$ existe. Ahora vamos a demostrar la acotación del término $I(t):=\int_{t_0}^t{\cos(s)g(s)ds}$. Podemos proceder de manera similar para $\int_{t_0}^t{\sin(s)g(s)ds}$. Podemos escribir $$I(t)=g^*(\sin t-\sin t_0)+\int_{t_0}^t{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}$$ La acotación de $\int_{t_0}^t{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}$ para todo $t\geq t_0$ se deduce directamente de la acotación de la integral $$I'(k):=\int_{\pi/2}^{2k\pi+5\pi/2}{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}$$ para todo $k\in\mathbb{N}$.

Para acotar $I'(k)$ la idea es descomponer la integral en intervalos donde cambia el signo de $\cos(s)(g(s)-g^*)$ y proporcionar límites para esos términos. Específicamente $$I'(k)=\sum_{m=0}^k{\int_{2m\pi+\pi/2}^{2m\pi+3\pi/2}{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}}+\sum_{m=0}^k{\int_{2m\pi+3\pi/2}^{2m\pi+5\pi/2}{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}}$$ $$I'(k)\leq \sum_{m=0}^k{(g(2m\pi+\pi/2)-g^*)\int_{2m\pi+\pi/2}^{2m\pi+3\pi/2}{\cos(s)ds}}+\sum_{m=0}^k{(g(2m\pi+5\pi/2)-g^*)\int_{2m\pi+3\pi/2}^{2m\pi+5\pi/2}{\cos(s)ds}}$$ Dado que $$\int_{2m\pi+\pi/2}^{2m\pi+3\pi/2}{\cos(s)ds}=-2\\ \int_{2m\pi+3\pi/2}^{2m\pi+5\pi/2}{\cos(s)ds}=2$$ se tiene que $$I'(k)\leq 2 \sum_{m=0}^k{(g(2m\pi+5\pi/2)-g^*)}-2 \sum_{m=0}^k{(g(2m\pi+\pi/2)-g^*)}=2[g(2k\pi+5\pi/2)-g(\pi/2)]\leq 2[g^*-g(\pi/2)]\quad \forall k\in\mathbb{N}$$ Para el límite inferior se tiene $$I'(k)=\sum_{m=0}^k{\int_{2m\pi+\pi/2}^{2m\pi+3\pi/2}{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}}+\sum_{m=0}^k{\int_{2m\pi+3\pi/2}^{2m\pi+5\pi/2}{\cos(s)(g(s)-g^*)ds}}\\ \geq \sum_{m=0}^k{(g(2m\pi+3\pi/2)-g^*)\int_{2m\pi+\pi/2}^{2m\pi+3\pi/2}{\cos(s)ds}}+\sum_{m=0}^k{(g(2m\pi+3\pi/2)-g^*)\int_{2m\pi+3\pi/2}^{2m\pi+5\pi/2}{\cos(s)ds}}=0\quad \forall k\in\mathbb{N}$$ Así que $I'(k)$ está acotado $\forall k\in\mathbb{N}$ y por lo tanto $I(t)$ está acotado para todo $\geq t_0$. De forma similar, podemos demostrar la acotación de $\int_{t_0}^t{\sin(s)g(s)ds}$ para obtener la acotación general de $y$.