Gratis de grupo en la BRECHA

Question

Sé que en el grupo libre $F$ con dos generadores $x$$y$, hay alguna palabra $w \in [F,F]$ tal que $xy^2=x^{-2} y^{-3} x^{-2}(xy)^5 w$. Es posible encontrar la $w$ usando BRECHA?

Answer 1

Si usted sólo quiere un poco de expresión de $w$ como producto de los conmutadores, entonces no es difícil. Como estoy seguro que usted sabe, para cualquier elemento $w$ libre en un grupo de $F$, $w \in [F,F]$ si y sólo si el exponente de la suma de cada uno de sus generadores es $0$.

Así que supongo que $w \in [F,F]$ y deje $x$ ser su primera carta. A continuación, $x^{-1}$ también debe ocurrir en $w$, lo $w = xux^{-1}v$ algunos $u,v \in F$, y, por tanto, $w = (xux^{-1}u^{-1})(uv)$ y basta para expresar $uv$ como producto de los conmutadores. Debido a que la longitud de $uv$ es dos menos que el de $w$, este proceso termina. Ciertamente se podría hacer ese cálculo en la BRECHA. La expresión resultante es el producto de los conmutadores tendría longitud en la mayoría de las $l(w)/2$.

Si estás buscando una palabra que fue el producto de la menor cantidad posible de conmutadores (o incluso cerrar una aproximación a eso), entonces que puede ser mucho más difícil, y sólo puedo pensar muy ingenuo fuerza bruta planteamientos, lo cual sería poco práctico para las palabras largas.

Answer 2

Hay un reciente preprint Por Fialkovski y Ivanov, que describe un algoritmo para calcular el colector de la longitud de un elemento en un grupo libre, y también le da un mínimo de conmutacion de la representación de un elemento en $F'$.