Simplificar el Producto de los senos

Question

Hay una manera de simplificar este producto?

$$ \sin\left({n} \frac{\pi}{2}\right) \sin\left({n} \frac{\pi}{3}\right) \sin\left({n} \frac{\pi}{4}\right) ...\sin\left({n} \frac{\pi}{n-1}\right) $$

Y, es esta la forma correcta de escribir? $$ \prod_{m=2}^{n-1} \sin\left(n \frac{\pi}{m}\right) $$

Yo no soy un profesional, así que agradecería una explicación sencilla.

Answer 1

Yo no lo creo. El uso de la fórmula de Moivre $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ de su producto está relacionado con todas las de la serie finita:

$$ n\pi \times \left( \pm \frac{1}{2} \pm \frac{1}{3} \dots \pm \frac{1}{n-1} \right) \mod 1$$

Su producto es la suma ponderada de $e^{[\dots]}$ para todas las series de este tipo, que se comportan como el Boltzmann función de partición. De hecho, los números en cuestión se envuelven alrededor de la número como $[0,1]$ de una manera aleatoria.

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Es poco probable que haya alguna simplificación, a menos que tratamos de estimar esta serie.

$$ \sum e^{n \pi i \cdot \left( \pm \frac{1}{2} \pm \frac{1}{3} \dots \pm \frac{1}{n-1} \right)}$$

Que el promedio, es muy probable que esté cerca de $0$ ya que estos números son equidistributed en el círculo unidad.

Un histograma muestra un poco de la varianza, pero básicamente la misma idea:

Es muy difícil decir qué tan cerca de $0$ este resultado es. Sin embargo, puede ser clásica resultados para la estimación de azar-ish sumas de este tipo.