La combinación de múltiples estudios para estimar la media y la varianza de una distribución normal de datos Bayesiana vs meta-analítica de los enfoques

Question

He revisado un conjunto de papeles, cada uno de los informes de que el observado la media y la desviación estándar de la medición de $X$ en sus respectivos muestra de tamaño conocido, $n$. Quiero hacer de la mejor manera posible adivinar acerca de las probabilidades de la distribución de la misma medida en un nuevo estudio que estoy diseñando, y cuánto la incertidumbre está en que adivinar. Estoy feliz de asumir $X \sim N(\mu, \sigma^2$).

Mi primer pensamiento fue el meta-análisis, pero los modelos empleados típicamente se centran en las estimaciones puntuales y los correspondientes intervalos de confianza. Sin embargo, me gustaría decir algo acerca de la distribución completa de la $X$, que en este caso sería también incluida la formulación de una conjetura acerca de la variación, $\sigma^2$.

He estado leyendo acerca de los posibles Bayeisan enfoques para calcular el conjunto completo de parámetros de una distribución dada, a la luz de los conocimientos previos. Generalmente, esto tiene más sentido para mí, pero tengo cero experiencia con el análisis Bayesiano. Esto también parece un sencillo, relativamente simple problema para cortar mis dientes.

1) Dada mi problema, el enfoque que tiene más sentido y por qué? Meta-análisis o un enfoque Bayesiano?

2) Si usted piensa que el enfoque Bayesiano es el mejor, puede que me apunte a una forma de implementar este (preferiblemente en R)?

Una pregunta relacionada con la

EDICIONES:

He estado tratando de resolver esto en lo que yo creo que es un 'simple' Bayesiano manera.

Como he dicho anteriormente, no solo estoy interesado en la estimación de la media, $\mu$, pero también la varianza,$\sigma^2$, habida cuenta del estado de la información, es decir, $P(\mu, \sigma^2|Y)$

De nuevo, yo no sé nada acerca de Bayeianism en la práctica, pero no pasó mucho tiempo para encontrar que la parte posterior de una distribución normal con desconocidos media y la varianza tiene una forma cerrada de la solución a través de conjugacy, con la normal inverso de distribución gamma.

El problema es formulado como $P(\mu, \sigma^2|Y) = P(\mu|\sigma^2, Y)P(\sigma^2|Y)$.

$P(\mu|\sigma^2, Y)$ se estima con una distribución normal; $P(\sigma^2|Y)$ con un inversa-distribución gamma.

Me tomó un tiempo para conseguir mi cabeza alrededor de ella, pero a partir de estos enlaces(1, 2) que era capaz de, creo, para ordenar cómo hacer esto en R.

Empecé con una estructura de datos compuesta de una fila para cada uno de los 33 estudios/muestras y columnas para la media, la varianza y el tamaño de la muestra. He utilizado la media, la varianza y el tamaño de la muestra del primer estudio, en la fila 1, como mi información previa. He actualizado esto con la información de la siguiente estudio, se calculan los parámetros pertinentes, y se tomaron muestras de la normal inverso-gamma para obtener la distribución de los $\mu$$\sigma^2$. Esto se repite hasta que todos 33 los estudios han sido incluidos.

# Loop start values values

  i <- 2
  k <- 1

# Results go here

  muL      <- list()  # mean of the estimated mean distribution
  varL     <- list()  # variance of the estimated mean distribution
  nL       <- list()  # sample size
  eVarL    <- list()  # mean of the estimated variance distribution
  distL    <- list()  # sampling 10k times from the mean and variance distributions

# Priors, taken from the study in row 1 of the data frame

  muPrior  <- bayesDf[1, 14]    # Starting mean
  nPrior   <- bayesDf[1, 10]    # Starting sample size
  varPrior <- bayesDf[1, 16]^2  # Starting variance

  for (i in 2:nrow(bayesDf)){

# "New" Data, Sufficient Statistics needed for parameter estimation

    muSamp    <- bayesDf[i, 14]          # mean
    nSamp     <- bayesDf[i, 10]          # sample size
    sumSqSamp <- bayesDf[i, 16]^2*(nSamp-1)  # sum of squares (variance * (n-1))

# Posteriors

    nPost   <- nPrior + nSamp
    muPost  <- (nPrior * muPrior + nSamp * muSamp) / (nPost)  
    sPost   <- (nPrior * varPrior) + 
                sumSqSamp + 
               ((nPrior * nSamp) / (nPost)) * ((muSamp - muPrior)^2)
    varPost <- sPost/nPost
    bPost   <- (nPrior * varPrior) + 
                sumSqSamp + 
               (nPrior * nSamp /  (nPost)) * ((muPrior - muSamp)^2)
# Update 

    muPrior   <- muPost
    nPrior    <- nPost
    varPrior  <- varPost

# Store

    muL[[i]]   <-  muPost
    varL[[i]]  <-  varPost
    nL[[i]]    <-  nPost
    eVarL[[i]] <- (bPost/2) / ((nPost/2) - 1)

# Sample

    muDistL  <- list()  
    varDistL <- list()

    for (j in 1:10000){
      varDistL[[j]] <- 1/rgamma(1, nPost/2, bPost/2)
      v             <- 1/rgamma(1, nPost/2, bPost/2)
      muDistL[[j]]  <- rnorm(1, muPost, v/nPost)
    }

# Store 

    varDist    <- do.call(rbind, varDistL)
    muDist     <- do.call(rbind, muDistL)
    dist       <- as.data.frame(cbind(varDist, muDist))
    distL[[k]] <- dist

# Advance

    k <- k+1 
    i <- i+1

  }

  var     <- do.call(rbind, varL)
  mu      <- do.call(rbind, muL)
  n       <- do.call(rbind, nL)
  eVar    <- do.call(rbind, eVarL)
  normsDf <- as.data.frame(cbind(mu, var, eVar, n)) 
  colnames(seDf) <- c("mu", "var", "evar", "n")
  normsDf$order <- c(1:33)

Aquí es un camino en el diagrama que muestra cómo las $E(\mu)$ $E(\sigma^2)$ cambiar a medida que cada nueva muestra, se añade.

Aquí están las desnities basa en el muestreo de las estimaciones de las distribuciones de la media y la varianza en cada actualización.

Yo sólo quería añadir en este caso, es útil para alguien, y para que la gente en-el-saber me puede decir si esto era sensato, fallas, etc.

Answer 1

Los dos enfoques (meta-análisis Bayesiano y actualización) no son en realidad tan distinta. Meta-modelos analíticos son, de hecho, a menudo enmarcada como Bayesiano de modelos, desde la idea de añadir a la evidencia de los conocimientos previos (posiblemente bastante vaga) sobre el fenómeno en la mano se presta naturalmente a un meta-análisis. Un artículo que describe esta relación es:

Brannick, M. T. (2001). Implicaciones de empírico de Bayes meta-análisis para la validación de pruebas. Revista de Psicología Aplicada, 86(3), 468-480.

(el autor utiliza las correlaciones como la medida de resultado de la meta-análisis, pero el principio es el mismo, independientemente de la medida).

Una más general, el artículo sobre los métodos Bayesianos para el meta-análisis sería:

Sutton, A. J., & Abrams, K. R. (2001). Bayesiano métodos de meta-análisis y síntesis de la evidencia. Métodos estadísticos en la Investigación Médica, 10(4), 277-303.

Lo que parecen ser después (además de algunos estimación conjunta) es una predicción/intervalo de credibilidad que se describe el lugar donde en un futuro estudio de la verdad del resultado/efecto es probable que caiga. Uno puede obtener un intervalo de un "tradicionales" meta-análisis o de un Bayesiano meta-modelo analítico. El enfoque tradicional se describe, por ejemplo, en:

Riley, R. D., Higgins, J. P., & Deeks, J. J. (2011). La interpretación de los efectos aleatorios de los meta-análisis. British Medical Journal, 342, d549.

En el contexto de un modelo Bayesiano (tomar, por ejemplo, el modelo de efectos aleatorios se describe mediante la ecuación 6 en el documento de Sutton & Abrams, 2001), uno puede fácilmente obtener la distribución posterior de los $\theta_i$ donde $\theta_i$ es el verdadero resultado/efecto en el $i$th estudio, debido a que estos modelos generalmente son estimados utilizando MCMC, uno sólo necesita monitor de la cadena de $\theta_i$ después de un período de ablande). Desde que la posterior distribución, uno puede obtener el intervalo de credibilidad.