Depende de lo que quieres decir con el "saber" $\lambda.$
En primer lugar, es obvio que se puede dar una definición en la teoría de conjuntos: "el menor ordinal $\lambda$ tal que $L_\lambda\models \mathrm{ZFC}\!"$ (puede o no puede existir, por supuesto, pero si existe, entonces esta es una definición).
Sin embargo, es de suponer que esto no es lo que usted quiere decir. Sería agradable ser capaz de describir un buen orden de pedido tipo de $\lambda$ en algunas agradable, simple combinatoria. Por desgracia, no creo que sea posible. En este sentido, se preguntó si $\lambda$ era computable (suponiendo que exista), y ciertamente no.
Una computable ordinal (más comúnmente conocido como un recursiva ordinal) es el tipo de orden de un buen orden de $\omega$ que pasa a ser un conjunto recursivo (un buen orden de $\omega$ es una relación en $\omega,$ que es un subconjunto de a$\omega\times\omega,$, por lo que tiene sentido preguntar si es recursiva). Cada recursiva establecida en $L_\lambda,$, por lo que cada computable ordinal es en $L_\lambda,$ y, además, es una computable ordinal de acuerdo a $L_\lambda.$ ello Se desprende que cada computable número ordinal contables de acuerdo a $L_\lambda.$ En otras palabras, cada computable ordinal es menos de $\aleph_1^{\,L_\lambda},$ cual es a su vez menor que $\lambda.$
De hecho, $\lambda$ es mucho más grande que el menos no computable ordinal, que se llama $\omega_1^{CK},$ la Iglesia-Kleene $\omega_1.$ El argumento por encima ya de los rendimientos que $\omega_1^{CK}\lt \aleph_1^{\,L_\lambda}\lt\lambda,$ pero $\lambda$ es incluso más grande de lo que esto sugiere:
Usted puede caracterizar $\omega_1^{CK}$ menos ordinal $\eta$ tal que $L_\eta$ satisface Kripke-Platek la teoría de conjuntos (KP), que es una versión debilitada de ZF (sin el poder conjunto de axiomas, y con la separación y recolección sólo para las fórmulas con delimitada cuantificadores). Su ordinal $\lambda$ es mucho mayor que $\omega_1^{CK}$ porque ZF es mucho más poderoso que el de KP. Por ejemplo, $A=\{\alpha\lt\lambda\mid L_\alpha\models KP\}$ es un subconjunto infinito de $\lambda$, y ha pedido tipo $\lambda;$ este set $A$ es una clase adecuada conforme a $L_\lambda,$ y el ordinal $\omega_1^{CK}$ es el menos de los miembros de $A.$
Por cierto, es probablemente vale la pena señalar explícitamente que $\lambda$ es contable si es que existe, y que la existencia de $\lambda$ es equivalente a la existencia de una bien fundada modelo de ZF.
Anexo 1: Aquí está el porqué $\lambda$ es no recursivo ordinal, y, de hecho, es mayor que $\omega_1^{CK}:$
Suponga $\lambda$ existe. Si $\alpha$ es recursivo ordinal, a continuación, $\alpha$ es el tipo de orden de algunos recursiva (de ahí la aritmética) bien-pedido de $W.$ se deduce que hay una fórmula $\phi$, en el lenguaje de la teoría de números tales que, para todos los $m, n\lt\omega,$ tenemos que $mWn$ mantiene iff $N\models\phi(m,n),$ donde $N$ es el modelo de $\langle\omega;+,\cdot;\lt\rangle.$ El modelo de $N$ pertenece a $L_\lambda,$ y, para los números de $m$ y $n,$ $N\models\phi(m,n)\iff L_\lambda\models\,"\!\!N\models\phi(m,n)\!".$ de Modo que la misma definición que hemos encontrado define $W$ en el mundo real se define, en $L_\lambda,$ el mismo conjunto $W.$ Se sigue que $W\in L_\lambda.$
Desde $W$ es un buen orden en el mundo real, debe ser un buen orden en $L_\lambda$ (todos los no-vacío subconjunto en $L_\lambda$ tiene al menos un elemento, ya que cada subconjunto tiene al menos un elemento).
Ahora, $L_\lambda\models \text{ZFC},$, por lo que, en $L_\lambda,$ cada pedido es de orden-isomorfo a un ordinal. De ello se deduce que el tipo de orden de $W,$ $\alpha,$ pertenece a $L_\lambda;$ en otras palabras, $\alpha\lt\lambda.$
Se puede ver que, para cualquier recursiva ordinal $\alpha,$ $L_\alpha\models\,"\!\alpha\text{ is a recursive ordinal."}$ (Hay dos maneras de ver esto: (1) Utilice el hecho de que el recurrente ordinales son los mismos que la aritmética de los números ordinales, y ya hemos visto que $\alpha$ puede ser definido por una fórmula aritmética en $L_\lambda.$ O (2) Observar que, desde $W$ anterior es recursiva, realmente podemos encontrar dos fórmulas de $\phi$ como en el anterior, una $\Sigma^0_1$ y el otro $\Pi^0_1.$ Esas mismas fórmulas de trabajo para definir $W$ $L_\lambda,$ $W$ es recursivo en $L_\lambda,$ $\alpha$ es su tipo de orden).
Por otra parte, es cierto que cualquier ordinal $\alpha$ es recursivo iff es recursiva de acuerdo a $L_\lambda.$ (El mismo argumento como el anterior funciona a la inversa: ser recursiva es equivalente a ser definibles por ciertos tipos de fórmulas, y las fórmulas son absolutos entre el $V$ $L_\lambda.)$
ZF se demuestra que $\omega_1^{CK}$ existe, y de lo anterior se desprende que el $\omega_1^{CK}$ calculado en $L_\lambda$ es el mismo que el real $\omega_1^{CK}.$ por lo Tanto $\omega_1^{CK}\lt\lambda.$
Anexo 2. Le preguntó:
Estoy buscando una definición de $\lambda$ que es lo suficientemente claro para ser independiente de cualquier contextuales axiomatization. Por ejemplo, $\epsilon_0$ puede ser definida de esta manera. La Iglesia-Kleene ordinal incluso puede ser definido de esta manera, si aceptamos que la computabilidad puede ser definida de esta manera. Entiendo que lo que estoy pidiendo no es exactamente formal, pero creo que es suficientemente claro.
Sí, $\varepsilon_0$ puede ser definido de forma combinatoria como este. Sin embargo, yo diría que eso no se aplica a $\omega_1^{CK}.$
El ordinal $\omega_1^{CK}$ es muy complicado ordinal; es fácil perder de vista ese hecho, ya que es contable y le damos un corto, fácil-a-uso del nombre.
Pero hay cada vez más complejo recursiva bien ordenamientos que uno puede concebir, y no es computable notación para los números ordinales que incluye todos los recursiva ordinales.
De hecho, diciendo que $\omega_1^{CK}$ es al menos de forma no recursiva ordinal es esencialmente lo mismo que decir que es el menor ordinal $\eta$ tal que $L_\eta\models\mathrm{ KP}$ (ambas especificaciones están diciendo, más o menos, que es el menor ordinal que no se puede llegar desde abajo por una $\Sigma_1$ fórmula). Esto pone a la definición y a la par con la definición de $\lambda$ menos ordinal tal que $L_\lambda\models\mathrm{ ZFC}.$
Si desea definir $\lambda$ en un modo más cercano en espíritu a la definición de $\omega_1^{CK}$ al menos de forma no recursiva ordinal, creo que se podría definir como el menor ordinal sin nombre, donde nombre se define inductivamente como un símbolo para el conjunto vacío o un término en el lenguaje de la teoría de conjuntos con nombres como parámetros, imitando a la definición de $L.$ (que va a ser difícil de hacer de este derecho, asegurarse de que usted va a través de lo suficientemente alta como ordinales, y probablemente vas a estar en contra de la verdad de Tarski teorema si intenta formalizar.) Por supuesto, no se puede demostrar en ZFC que este ordinal existe; $L_\lambda$ es un modelo de ZFC en el que no existe.
