Cómo se factoriza $x^3-3x^2+3x-1$ ?

Question

$$x^3-3x^2+3x-1?$$

Sé que esto puede parecer trivial, pero yo, por mi vida, no puedo averiguar cómo factorizar este polinomio, sé que la raíz es $$(x-1)^3=0$$ por wolframalpha, pero no sé cómo llegar allí. cualquier ayuda sería muy apreciada. y también si tienes algún sitio web recomendado que ayude con la factorización de polinomios de orden superior que sería extremadamente útil.

Answer 1

En primer lugar, adivina una raíz (esta es la parte difícil). La llamada "prueba de raíces racionales" será útil en este caso.

Con el tiempo, descubrirás que $x=1$ es una raíz. Esto implicará que su polinomio tiene la forma $$ \tag{1}(x-1)(ax^2+bx+c), $$ para algunas constantes $a, b, c$ .

Para encontrar esas constantes, puedes hacer una de estas dos cosas (y quizás más)

1. realizar la división $ x^3-3x^2+3x+1\over x-1$ .
2. expande (1) y hazlo igual al polinomio original. Si establecemos los coeficientes de los dos lados de esta ecuación iguales entre sí, obtendremos un sistema de ecuaciones que se puede resolver para $a$ , $b$ y $c$ .

Una vez que haya averiguado qué $a,b$ y $c$ son, factorizar la cuadrática.

Answer 2

$$ \begin{align*} x^3-3x^2+3x-1 &=x^3-x^2-2x^2+3x-1 \\ &=x^2(x-1)-2x^2+2x+x-1 \\ &=x^2(x-1)-2x(x-1)+1(x-1) \\ &=(x-1)(x^2-2x+1) \\ &=(x-1)(x-1)^2 \\ &=(x-1)^3 \end{align*}$$

Answer 3

Sugerencia

Si conoces una solución para la ecuación (en este caso $x=1$ ), entonces puede utilizar el Briot-Ruffini método para reducir este polinomio de 3 grados a uno de 2 grados.

Sólo hay que encontrar las otras raíces aplicando Baskara .

Si las raíces son $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ puedes factorear tu polinomio como:

$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ , donde $a$ es el coeficiente de mayor grado.

Otra pista:

Un producto notable es:

$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy-y^3$

Ves que esto es bastante similar a tu polinomio.

Answer 4

De otra manera: $\rm\ f\:' = 3\ (x-1)^2\ $ y $\rm\ gcd(f,f\:') = (x-1)^2\ $ por el algoritmo de Euclides (o por inspección).

De hecho, la mayoría de los algoritmos de factorización de polinomios comienzan reduciendo al caso libre de cuadrados mediante la factorización de $\rm\ gcd(f,f')\:.$

Answer 5

$x^3-3x^2+3x-1=x^3-2x^2-x^2+x+2x-1=x^3-2x^2+x-x^2+2x-1=$

$=x(x^2-2x+1)-(x^2-2x+1)$ ....etc.