Generación de un $n$ -vector dimensional ortogonal a $n-1$ vectores linealmente independientes

Question

Déjenos tener $n-1$ vectores linealmente independientes $\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1}\in\mathbb{R}^{n}$ definan el vector $\vec{w}$ de la siguiente manera:

$$\vec{w}=\begin{pmatrix}\det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{1}) \\ \vdots \\ \det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{n})\end{pmatrix}$$

Este vector es aparentemente ortogonal a todos los vectores $v_{i}$ , $i\in\{1,\dots,n-1\}$ Sin embargo, no soy capaz de demostrar que esto sea así y tampoco entiendo la intuición que hay detrás, por lo que estaría agradecido si alguien fuera capaz de demostrar este hecho y quizás me permitiera captarlo de forma más intuitiva.

Answer 1

Es evidente que este vector es ortogonal a todos los vectores $v_i$ porque: si suponemos $\vec{v}_i=v_{i1}e_1+\dots+v_{in}e_n$ entonces $$\vec{v}_i\cdot\vec{w}=(v_{i1},\dots,v_{in})\cdot\begin{pmatrix}\det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{1}) \\ \vdots \\ \det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{n})\end{pmatrix}=\sum_{k=1}^{n}v_{ik}det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{k})=det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{v}_{i})$$ por lo que la matriz $(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{v}_{i})$ tiene dos colones iguales, por lo que $\vec{v}_i\cdot\vec{w}=0$ .

Creo que se trata de un método para desarrollar una base más a partir de un vector cualquiera. Por ejemplo, una base del espacio vectorial es $\{e_i\}$ y ahora tenemos un vector cualquiera $\vec{v}=\sum_{i=1}^nv_ie_i$ (hay al menos una $i$ que $v_i\neq0$ ). Haremos otra base a partir de este vector $\vec{v}$ y lo anotamos $\vec{v}_1$ . Su ecuación es la forma de hacerlo.

suponemos que $\vec{v}_2=\begin{pmatrix}\det(\vec{v}_{1},\vec{e}_{1},\dots,\vec{e}_{n-1}) \\ \det(\vec{v}_{1},\vec{e}_{2},\dots,\vec{e}_{n})\\ \vdots \\ \det(\vec{v}_{1},\vec{e}_{n},\dots,\vec{e}_{n-2})\end{pmatrix}$ podemos demostrar que $\vec{v}_2\neq0$ y $\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=0$ .

Del mismo modo, si ya hemos $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_i$ podemos hacer $\vec{v}_{i+1}$ : $$\vec{v}_{i+1}=\begin{pmatrix}\det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{i},\vec{e}_{1},\dots,\vec{e}_{n-i}) \\ \det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{i},\vec{e}_{2},\dots,\vec{e}_{n-i+1})\\ \vdots \\ \det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{i},\vec{e}_{n},\dots,\vec{e}_{n-i-1})\end{pmatrix}$$ podemos demostrar que para cualquier $1\leq k\leq i$ tenemos $\vec{v}_{i+1}\neq0$ y $\vec{v}_k\cdot\vec{v}_{i+1}=0$ .

su ecuación es el último paso para hacer $\vec{v}_{n}$ : $$\vec{v}_{n}=\begin{pmatrix}\det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{1}) \\ \vdots \\ \det(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n-1},\vec{e}_{n})\end{pmatrix}$$

Los vectores { $\vec{v}_i$ } son ortogonales entre sí. Así, en un espacio de dimensión $n$ esta es una nueva base.

Answer 2

Si escribes el producto punto y expandes cada determinante a lo largo de la última columna, verás que $$\vec{v}_i\cdot \vec{w} = \det(\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots, \vec{v}_{n-1},\vec{v}_i),$$ y como el lado derecho es el determinante de una matriz con dos columnas iguales, es cero. No estoy seguro de si hay una intuición geométrica.

Answer 3

Complicas las cosas innecesariamente al hablar de un producto punto. Lo que quieres describir es una forma lineal no nula en el espacio vectorial que desaparece en todos los vectores $\vec v_i$ (el producto punto con $\vec w$ es una forma lineal de este tipo). Ahora bien, por un lado cualquier forma lineal $~\alpha$ viene dado por a $1\times n$ matriz $(c_1~c_2~\ldots~c_n)$ donde $c_j=\alpha(e_j)$ es el valor de la forma lineal en el vector base estándar $~e_j$ (la interpretación habitual de los coeficientes de las matrices); al transponer esa matriz se obtiene un vector columna tal que $\alpha$ es el producto punto por él. Por otro lado, existe una forma lineal obvia que desaparece en todos los vectores $\vec v_i$ no es cero por la suposición de independencia, es decir $\alpha:\vec x\mapsto\det(\vec v_1,\ldots,\vec v_{n-1},\vec x)$ . Evaluando ahora $\alpha(e_j)$ para todos $j$ y juntando las cosas se obtiene el enunciado de tu pregunta.