¿Cómo puedo obtener desbloqueado en el aprendizaje del Cálculo?

Question

Me encantan las matemáticas y la ciencia. De hecho pagó por $1/2$ mi matrícula de la universidad dando clases particulares de álgebra y trigonometría. Pero cuando llegó el cálculo, me quedó bloqueado. Comprendo los conceptos de velocidad y la tasa de cambio, pero cuando me pongo a ver todos los símbolos como $f'(x)$$dx$, mi mente se va todo borroso.

Mi estilo de aprendizaje es que si me puedo imaginar algo y comprender que en la vida real, entonces lo tengo en símbolos. Álgebra, geometría y trigonometría son todos bastante fácil de imaginar. Pero lo que no se ve, como en la vida real de 'tomar la derivada o la integral de algo? ¿Se ve como una esfera de convertirse en un círculo?

¿Alguien más cerebro de un trabajo como este? ¿Cómo obtener el cálculo?

Answer 1

Voy a compartir con ustedes mi (corta) experiencia en relación con las matemáticas. No va a ser una respuesta directa a su pregunta, pero tal vez pueda ayudarte! Así que cuando yo estaba en la escuela, me encantaban las matemáticas. Yo era realmente bueno en ellas. La trigonometría, álgebra e incluso pre-cálculo. Incluso llegué a pensar que era todo lo que las matemáticas se acerca. Sin embargo, cuando hace 4 años, entré en la universidad, me comenzó a darse cuenta de matemáticas no era acerca de los números (en muchos casos). De repente me encontré a mi auto relacionados con los conceptos que eran absolutamente imposible foto con ellos de alguna manera. No sólo eso, de repente se me fue la solución de un problema que nunca hubiera pensado que podría incluso ser llamado de matemáticas. Esto me hizo sentir serio. Cuando me decidí a estudiar matemáticas, estoy segura de que no era $picturing$ mi auto haciendo lo que estoy haciendo hoy. Sin embargo, todavía estoy estudiando, y cada vez con más entusiasmo. Y eso es lo importante que quiero compartir con ustedes. No creo que sobre las matemáticas como algo que usted puede imagen en la realidad. Que sólo se detenga. En realidad, la gran cosa acerca de las matemáticas, lo que hace es $ perfect $ es que no tiene incluso para explicar la realidad!

Me gusta pensar en las matemáticas como esta magia indescriptible cosas que puede hacer el amor o el odio. Y si lo amo, solo aprender de ella, no busca toda la realidad. Usted tiene la física para que!

Answer 2

Si usted quiere "imagen" algo en el cálculo, he aquí un ejemplo:

• El tamaño de un límite de veces la tasa a la cual el límite se mueve, es igual a la tasa de cambio de tamaño de la región acotada.

(En privado pienso en esto como "la regla de límite". ¿Alguien sabe de un mejor nombre para él?)

Ejemplos:

• Una región está rodeada por una esfera. El cambio en el radio es la distancia que el límite se mueve. Por lo tanto la velocidad a la que el límite se mueve es la tasa de cambio de la radio. El tamaño de la frontera es el área de la superficie de la esfera. Multiplique esos para obtener la velocidad a la que cambia el nivel de volumen. (Esto explica por qué la fórmula para el área de la superficie de una esfera como una función de la radio es la derivada con respecto a la radio, el volumen de la esfera.)

• Una $n$-cubo tiene lados de longitud $x$, una esquina a la derecha en el origen, y $n$ bordes en los ejes de coordenadas. Como $x$ cambios, $n$ de las caras se mueven y se mueven a la velocidad a la que $x$ cambios. Cada uno de ellos tiene el tamaño de $x^{n-1}$. Por lo que la tasa de cambio de volumen, es decir, la tasa de cambio de $x^n$, es $$\underbrace{x^{n-1}+\cdots+x^{n-1}}_{n\text{ terms}}$$ times the rate at which $x$ cambios.

Answer 3

Puedo entender por qué su mente se va borrosa cuando se ven cosas como $x^2 dx$$\frac{dy}{dx}$, debido a que estos son difíciles de conceptos que son difíciles de formalizar y con frecuencia se utiliza incorrectamente, y su sentido geométrico es bastante complicado. De hecho, incluso después de 5 años de la universidad de las matemáticas, sinceramente, aún no tiene el sentido geométrico de $\frac{dy}{dx}$. Sin embargo, el significado de la notación $f'(x)$ debe ser perfectamente claro, y usted debería ser capaz de visualizar con sólo un poco de pensamiento. Si usted no puede hacerlo en el momento, tal vez el problema es que tal vez le falta es el concepto de una función. No voy a tratar de explicar aquí, pero te sugiero buscar en línea para una explicación de la función de concepto. Algunas palabras clave:

• Establecer, en función de
• De dominio, codominio, asegúrese de que usted sabe lo que la notación $f : X \rightarrow Y$ significa que, donde $X$ $Y$ denotar conjuntos.
• Inyectiva (uno a uno), surjective (a)
• Función de orden superior
• La abstracción Lambda

Otro punto importante es que, dada una función de $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$

• $f$ generalmente puede ser visualizado como una curva en el plano.
• la notación $f(x)$ ("$f$ evaluados en $x$") puede ser visualizado como la altura de $f$$x$.

Asegúrese de entender esto.

Una vez que tenemos estos conceptos, el cálculo no debe hacer que su mente dormir más. Una manera sencilla de entender la notación $f'(x)$ es que realmente significa la pendiente de $f$$x$. En otras palabras, es el derivado de la $f$, evaluado en $x$. Trate de pensar de los derivados como funciones de orden superior; la notación $f'(x)$ realmente significa algo más parecido a $$(D(f))(x),$$ where $D$ is the derivative function (which is higher-order). The expression $(D(f))(x)$ means: start with the function $f$, then apply $D$ to it, thereby obtaining the corresponding "slope function" $D(f)$, and then evaluate this new function $D(f)$ at $x$; you can visualize this as the height of the slope function $D(f)$ at $x$.

Answer 4

Los conceptos que se mencionan fueron históricamente derivado de geométricos y problemas físicos, como curvas y zonas de movimiento, etc.

Usted puede obtener de ellos explica muy cerca de diario de concepción. Y podemos tratar aquí si se puede romper hacia abajo en una sola pregunta. Sin embargo, el verdadero poder de las matemáticas es abstracto, dejando todo salvo de las propiedades esenciales. Esto permite que las aplicaciones para un rango más amplio.

E. g. usted puede trabajar la geometría en 10 dimensiones, lo cual es muy útil si usted tiene un problema de optimización en 10 tipos de productos diferentes.

También cotidiana de la concepción puede ser engañoso, que es la razón por la tarde cálculo tiene más métodos abstractos para lograr un mayor rigor.

Así que usted puede utilizar la concepción hasta obtener una primera comprensión del tema, pero el paso a la abstracción, no puede ser totalmente evitados si usted quiere hacer de la matemática moderna.