Expresar $\int_{-\infty}^\infty dx/(x^2+1)^n$ en términos de función Gamma

Question

Cómo demostrar esta identidad para $n>1/2$ ? $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^n}=\frac{\sqrt{\pi}\cdot \Gamma(n-\frac{1}{2}) }{\Gamma (n)}$$

Answer 1

Sugerencia : Debido a la paridad, $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)~dx=2\cdot\int_0^\infty f(x)~dx.~$ Entonces $t=\dfrac1{1+x^2}$ y reconocer la expresión de la función beta en la nueva integral.