La prueba de la estimación de la cola de una distribución normal

Question

Mi asesor me dijo que buscar la prueba de la siguiente estándar de la estimación, de modo que podemos adaptarlo para el caso de que estamos tratando con algo similar, pero incluyendo la adición de un polinomio integrando.

Todavía tengo que encontrar una referencia que contiene la prueba y se preguntaba lo que la referencia era o si alguien conocía una forma rápida de probar el siguiente cálculo:

¿Cómo se puede mostrar $\exists c > 0$, de modo que $\int_u^\infty \exp(-z^2)\;\mathrm dz < \frac{c}{u} \exp{(-u^2)}$?

Answer 1

Lo lógico es tomar la derivada con respecto al $u$$-\frac{c}{u} \exp{(-u^2)}$$c\left(2+\frac{1}{u^2}\right) \exp{(-u^2)}$.

Así que si $u \gt 0$$c \ge \frac{1}{2}$$c \left(2+\frac{1}{u^2}\right) \gt 1$$c\left(2+\frac{1}{x^2}\right) \gt 1$$x \ge u$, por lo que

$$\int_{u}^{\infty} \exp{(-x^2)} dx \lt \int_{u}^{\infty} c\left(2+\frac{1}{x^2}\right) \exp{(-x^2)} dx = \left[-\frac{c}{x} \exp{(-x^2)}\right]_{x=u}^\infty = \frac{c}{u} \exp{(-u^2)}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\int_u^\infty e^{-z^2}dz \leq \int_u^\infty \frac{z}{u} e^{-z^2}dz = \left[ -\frac{1}{2u}e^{-z^2}\right]_u^\infty = \frac{1}{2u} e^{-u^2}$$

En particular, $c=1/2$ es suficiente.