simpléctica colectores

Question

Sé que a veces el uso de métodos avanzados para demostrar un determinado 4-colector no es simpléctica. por ejemplo Seiberg-Witten teoría. Pero para un colector para ser simpléctica sólo tenemos que verificar que hay un elemento en la segunda cohomology que se cierra y cuando nos la copa del producto en sí nos da un elemento distinto de cero. No esta fácil de comprobar en la mano? por ejemplo, supongo conectado suma de dos copias de $CP^2$ no es simpléctica, no podemos comprobar esto a mano, sin utilizar cualquier S-W de la teoría?

Answer 1

El más simple obstrucción a una estructura simpléctica en un determinado cerrado colector $M^{2n}$ es, como usted dice, el de Rham álgebra $H^*_{dR}(M)$. Si hay una estructura simpléctica en $M$, no debe ser un elemento $[\omega] \in H^2_{dR}(M)$ tal que $[\omega^n]$ es un nonvanishing elemento en $H^{2n}_{dR}(M)$. Esto descarta que, dicen, de las esferas de dimensión mayor que dos son simpléctica.

Pero esto está lejos de ser suficiente. No sólo estamos buscando un cerrado 2-formulario cuya mayor potencia exterior no es exacto, estamos buscando una degenerada cerrado 2-forma - algo cuya mayor poder es una forma de volumen. Es decir, la forma $\omega^n$ es en ninguna parte de cero, no sólo cohomologically distinto de cero. No hay ninguna razón para creer en la existencia de una $[\omega]$ como es arriba es suficiente.

Hay mejores obstrucciones de la cohomology anillo solo. Por ejemplo, si tengo un simpléctica colector $M$, lo mejor es admitir a un casi-compleja estructura. Suponiendo $M$ es un 4-colector, esta existencia, la pregunta es sólo otro homológica criterio:

Cerrado 4-colector $M$ admite casi de estructura compleja $J$ si y sólo si existe $h \in H^2(M;\Bbb Z)$ tal que $h^2 = 3\sigma(M) + 2\chi(M)$$h \equiv w_2(M) \mod 2$. Aquí $\sigma$ es de la firma, $\chi$ es la característica de Euler, y $w_2$ es el segundo Whitney clase. Ahora podemos comprobar que $\#_2 \Bbb{CP}^2$ no admite una estructura simpléctica por escrito $H^2(M;\Bbb Z)$ $\Bbb Z \oplus \Bbb Z$; $w_2 = (1,1)$; por lo tanto, debemos tener $h^2 = 14$. Pero se puede comprobar con la mano que $14$ no puede ser escrito como la suma de dos impares plazas (o la suma de dos cuadrados, período). El uso de este teorema, uno puede mostrar que un cerrado 4-colector soporta casi una compleja estructura de la fib $b_2^+(M)$ es impar.

Y luego están incluso mejor obstrucciones, aunque son más difíciles de usar. Como un ejemplo, $\#_3 \Bbb{CP}^2$ tiene una perfectamente buena cohomology de anillo de tres generadores de grado 2 que la plaza de todos de una forma positiva en la parte superior de grado, y no apoyo casi una estructura compleja. Pero su Seiberg-Witten invariantes desaparecer porque puede ser escrito como conectado suma de dos colectores con $b_2^+>0$, por lo que no puede apoyar una estructura simpléctica (como Taubes ha demostrado que simpléctica colectores han nonvanishing Seiberg-Witten invariantes).

Answer 2

En Mike Miller sugerencia, me he vuelto a mis comentarios en una respuesta:

Desde una perspectiva analítica, usted está pidiendo una solución global $\omega \in \Omega^2(M)$ a de la ecuación diferencial $d\omega = 0$ $M^{2n}$ que también satisface $\omega^n \neq 0$. En general, creo que no es muy fácil saber cuando una ecuación diferencial tiene soluciones globales o no.

Si existen no degenerada de 2 formas (no necesariamente cerrado) es puramente topológica de la cuestión; una completa caracterización de dichos colectores puede ser dada en términos de la característica de las clases. Pero no está claro que de esos también admiten un no-degenerada 2-forma en la cual se resuelve $d\omega = 0$. (Así como no es claro, por ejemplo, que suave colectores de admitir integrable estructuras complejas.)