La subálgebra fija de un álgebra finitamente generada

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, $A$ una generación finita de $k$ -álgebra, poner $A^{G}:=\{a \in A \mid g(a)=a ~ \mbox{for all}~g \in G\}$ , donde $G$ es un grupo finito de automorfismos de $A$ . Si

(1) la orden de $G$ no es divisible por la característica de $k$ ,

entonces $A^{G}$ es una entidad finitamente generada $k$ -Álgebra.

Vi esta afirmación en la obra de I. R. Safarevich Geometría algebraica básica . Pero no sé dónde se utiliza (1). En el libro de Atiyah Macdonald Álgebra conmutativa (ejercicio 5 del capítulo 7), se omite la condición (1).

Me pregunto cuál es la declaración correcta.

Answer 1

La condición de la característica no es necesaria (tampoco lo es que $k$ sea un campo, aunque debería ser noetheriano); véase, por ejemplo, el Corolario 1.19 de http://people.fas.harvard.edu/~amathew/chgraded.pdf

Básicamente, la cuestión es que $A$ será integral en $A^G$ y $A^G$ se "intercala" entre $k, A^G, A$ . A partir de estos hechos, el resultado no es demasiado complicado de demostrar.

El resultado que sólo conozco bajo condiciones sobre la característica es el refuerzo al caso de $G$ un grupo algebraico reductor, que actúa (algebraicamente) sobre un grupo finitamente generado $k$ -álgebra: entonces $k$ se requiere que sea de característica cero. La razón es que la prueba utiliza la semisimplicidad de la categoría de $G$ -representaciones, lo que sólo es cierto en la característica cero.

Answer 2

De hecho, el resultado es cierto sin restricciones en la característica: véase $\S 14.6$ , Teorema 339 de mis apuntes de álgebra conmutativa . Como menciono allí, el resultado fue demostrado primero por Hilbert en la característica cero y luego en 1928 por Emmy Noether en la característica arbitraria.

Answer 3

Como se ha señalado anteriormente, no necesitamos $k$ para ser un campo; tampoco necesitamos $|G|$ sea invertible en $k$ . Dejemos que $A=k[a_1,\ldots, a_m]$ y aviso $a_i$ satisface el polinomio $\prod_{g\in G}(X-g(a_i))\in A^G[X]$ . Tomando todos estos coeficientes, como $i$ varía de 1 a $m$ nos da $m|G|$ que generan un $k$ -Álgebra $Y$ . Claramente $Y\subset A^G$ y $Y$ se genera finitamente como un $k$ -por lo tanto por el Teorema de la Base de Hilbert, $Y$ es noetheriano. Tenemos $k\subset Y\subset A^G\subset A$ .

Ahora, $A$ es una integral finitamente generada $Y$ -álgebra, porque todas las $a_i$ son integrales sobre $Y$ y, por tanto, es un módulo generado finitamente sobre $Y$ . (Este es un hecho general que se puede demostrar fácilmente por inducción en el número de generadores necesarios para mostrar $A$ como $Y$ -álgebra). Dado que $Y$ es noetheriano esto implica $A^G$ es también una entidad finitamente generada $Y$ -módulo.

Finalmente, $A^G$ es un módulo finitamente generado sobre un módulo finitamente generado $k$ -y, por lo tanto, es a su vez una álgebra finitamente generada $k$ -álgebra, según se desee.