¿Improbable o imposible?

Question

Me preguntaba cómo definen las matemáticas en general o cualquiera de sus subcampos, por ejemplo, la estadística o la probabilidad, las palabras Improbable e Imposible.

Entiendo su significado en inglés, que algo es imposible significa que nunca va a ocurrir y que improbable significa que algo es poco probable que ocurra.

¿Podría alguien proporcionar una descripción matemática para estas dos palabras tal y como se utilizan (si es que se utilizan) en algún campo de las matemáticas? Puede ser en términos de tamaño de las probabilidades.

Gracias.

Answer 1

improbable \= algo que puede ocurrir, pero su probabilidad es comparativamente baja, pero no nula. La distinción entre probable e improbable no está, que yo sepa, exactamente definida.

si tiras cien dados, es muy improbable que todos caigan como seises.

casi imposible \= algo que puede ocurrir, pero su probabilidad es exactamente cero

si tiras un dado sin fricción, es casi imposible que acabe en su borde.

si sigues tirando un dado hasta que sale un seis, es casi imposible que nunca dejes de tirar.

imposible \= algo que no puede suceder.

si tiras cien dados (estándar), es imposible que al menos uno de ellos caiga como un siete.

probable

si consigues cien seises seguidos, es probable que el casino te eche.

casi definitivo

si se intenta equilibrar un dado sin fricción sobre su borde, es casi seguro que se caerá sobre una de sus caras

Definitivamente

Creo que definitivamente tratará de equilibrar un dado en su borde. Si lo consigues - recuerda que es debido a la fricción.

Answer 2

El marco estándar de la teoría de la probabilidad intenta asignar a cada resultado $X$ un número $P(X)$ entre $0$ y $1$ que llamamos probabilidad del resultado. Cuanto más alto sea el número, más probable es que se produzca ese resultado. Dependiendo del contexto, un valor suficientemente pequeño de $P(X)$ corresponderá a algo improbable, pero no hay un umbral inherente entre improbable y probable.

La teoría general de la probabilidad no tiene una buena manera de dar sentido a "imposible" o "necesidad". Tener una probabilidad de $0$ no significa que algo no pueda ocurrir, y tener una probabilidad de $1$ no significa que algo deba ocurrir. Para explicar esto con una metáfora de la geometría, consideremos la noción de área. El área de la nada es $0$ pero también lo es el área de un solo punto. En ese sentido, la noción de área no puede distinguir entre la nada y lo que es "infinitamente pequeño".

Del mismo modo, cuando se trata de aplicar la teoría de la probabilidad a problemas que tienen infinitos resultados, la probabilidad de un suceso puede ser cero aunque sea posible, siempre y cuando haya otras infinitas posibilidades igual de probables (o alguna situación similar). A la hora de la verdad, la recta numérica real no tiene números infinitamente pequeños, y como la teoría de la probabilidad utiliza números reales, a estos sucesos sólo se les puede asignar una probabilidad de $0$ .

Answer 3

Matemáticamente, un evento E puede llamarse imposible si y sólo si $Pr(E)=0$ . No creo que podamos definir lo improbable de forma estática (es decir, de forma que no lo hace cambiar en función del contexto). Un intento, sin embargo, podría ser: dado un umbral de probabilidad de $p_T$ Cualquier acontecimiento $X$ se considera improbable si $Pr(X) \lt p_T$ .