Mostrando que $l^p(\mathbb{N})^* \cong l^q(\mathbb{N})$

Question

Estoy leyendo el análisis funcional en el verano, y han venido a este ejercicio, pidiendo para mostrar que los dos espacios de $l^p(\mathbb{N})^*,l^q(\mathbb{N})$ son isomorfos, es decir, mostrando que todos los $l \in l^p(\mathbb{N})^*$ puede ser escrito como $l_y(x)=\sum y_nx_n$ para algunos $y$$l^q(\mathbb N)$.

El ejercicio tiene una sugerencia. Parafraseado: "A ver $y \in l^q(\mathbb N)$ considera $x^N$ define de forma tal que $x_ny_n=|y_n|^q$$n \leq N$$x_n=0$$n > N$. Ahora mira a $|l(x^N)| \leq ||l|| ||x^N||_p$."

No puedo decir que entiendo la primera parte de la pista. Para demostrar la declaración necesito encontrar un $y$ tal que $l=l_y$ algunos $y$. Entonces, ¿cómo puedo definir $x$ en términos de $y$ cuando se es $y$ se supone que voy a encontrar. No hay algo circular pasando?

El ejercicio se encuentra en la página 68 en Gerald Teschls notas en http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html

Gracias por todas las respuestas.

Answer 1

Sabemos que el $(e_n)$ $1$ a $n$-ésima posición y $0$s de otros lugares es una base de Schauder para $\ell^p$ (que tiene una agradable alternativa equivalente definiciones, recomiendo los Temas en el Espacio de Banach de la Teoría Albiac y Kalton como una buena referencia acerca de esta.

Por lo tanto, cada $x \in \ell^p$ tiene una representación única por

$$x = \sum_{k = 1}^\infty y_k e_k.$$

Ahora considere el $l \in \ell^q$. Debido a $l$ está delimitado también tenemos que

$$l(x) = \sum_{k = 1}^\infty y_k l(e_k).$$

Ahora establezca $z_k = f(e_k)$. Considere el siguiente $x_n = (y_k^{(n)})$ donde

$$y_k^{(n)} = \begin{cases} \frac{|z_k|^q}{z_k} &\text{when $k \leq n$ and $z_k \neq 0$,}\\ 0 &\text{lo contrario.} \end{casos}.$$

Tenemos que $$\begin{align}l(x_n) &= \sum_{k = 1}^\infty y_k^{(n)} z_k\\ &= \sum_{k = 1}^n |z_k|^q\\ &\leq \|l\|\|x_n\|\\ &= \|l\| \left ( \sum |x_k^{(n)}|^p \right )^{\frac1p}\\ &= \|l\| \left ( \sum |x_k^{(n)}|^p \right )^{\frac1p}\\ &= \|l\| \left ( \sum |z_k|^q \right )^{\frac1q}. \end{align}$$

Por lo tanto, tenemos que

$$\sum |z_k|^q = \|l\| \left (\sum |z_k|^q \right )^{\frac1q}.$$

Ahora dividimos y obtener

$$\left ( \sum_{k = 1}^n |z_k|^q \right )^{\frac1q} \leq \|l\|.$$

Tomar el límite para obtener $$\left ( \sum_{k \geq 1} |z_k|^q \right )^{\frac1q} \leq \|l\|.$$

Llegamos a la conclusión de que $(z_k) \in \ell^q$.

Por lo tanto, ahora que usted podría tratar de hacer lo mismo para $L^p(\mathbf R^d)$ $\sigma$- finito medida. Una pequeña sugerencia: el Uso de la $\sigma$-finitud puede reducir a la medida finita caso.