¿Cuál es la conexión entre la serie de Taylor y polinomios de Chebyshev?

Question

Puede alguien ayudarme a encontrar algunas referencias históricas para la conexión entre los polinomios de Chebyshev y la serie de Taylor para el seno y coseno funciones? Sabemos que los polinomios de Chebyshev se utilizan para representar varios ángulo de identidades para el seno y coseno funciones. De acuerdo a Vieta,

$$\cos(nx)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x\sin^{n-k}x\cos\left(\frac{1}{2}(n-k) \pi \right),$ $ , que es derivado de la fórmula de Euler.

Los polinomios de Chebyshev $T_n(x)$ son aquellos que satisfacen $T_n(\cos x)=\cos(nx)$. Por ejemplo,

$$T_4(x)=1-8x^2+8x^4$$

$$T_8(x)=1-32x^2+160x^4-256x^6+128x^8$$

La opción para mostrar los múltiplos de 4 para n es deliberado, porque estos polinomios de Chebyshev más se asemejan al patrón en la serie de Taylor para el coseno, que comienza con 1 y y suplentes entre positivo y negativo de los términos con potencias $x^{2k}$

Sabemos que a partir de la trigonometría elemental que cualquier doble ángulo de identidad puede ser reescrito para expresar un medio ángulo de la fórmula. Así,

$$\cos(2x)=2\cos^{2}x-1⇒\cos(x)=2\cos^2(x/2)-1$$

Esto se puede generalizar para cualquier múltiples ángulo de la identidad. Es decir,

$$\cos(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^{k-1} (x/n)\sin^k (x/n)\cos\left(\frac{1}{2}(n-k) \pi \right)$$

Tomando el límite de la anterior polinomio como n se acerca a infinito resultados en pequeños ángulos de seno y coseno que el enfoque 1 y $(x/n)^k$ respectivamente. También, se puede demostrar que $\lim_{ n \to \infty }\binom{n}{k}(1/n)^k =\frac{1}{k!}$. El resultado es la conocida serie de Taylor

$$\sum_{k=0}^{∞}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k!)}}$$

Esto puede ser apreciado por tomar un múltiplo de cuatro polinomio de Chebyshev y dividiendo el coeficiente de cualquier $x^k$ plazo por $n^k$. El mayor es el $n$, más el término se aproxima a $\frac{1}{k!}$. Me sorprendió encontrar este porque me pareció un desarrollo en serie de Taylor sólo podía ser derivados por el cálculo diferencial.

No me puedo imaginar que esto ha pasado desapercibido. Cualquier comentario y/o referencias históricas son muy apreciadas.

Answer 1

He publicado esta respuesta hace más de tres años. Sospecho que lo había encontrado en este libro.

Copia de la respuesta y pegar aquí:

En primer lugar recordar que $$ \sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots) = \sum_{\text{impar }k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{|A| = k}\ \prod_{i\in A} \sin\theta_i\prod_{i\no\en Una} \cos\theta_i. $$ A continuación, vamos a $n$ ser infinitamente grande entero (que es como Euler enunciado de que, si no me equivoco) y dejar que $$ x= \frac{\theta}{n} + \cdots + \frac{\theta}{n} $$ y aplicar la fórmula para encontrar la $\sin x$. Por último, recordar que (como Euler), ya que $\theta/n$ es infinitamente pequeño, $\sin(\theta/n) = \theta/n$$\cos(\theta/n) = 1$. A continuación, hacer un poco de álgebra y de la serie cae.

El álgebra se incluyen cosas como decir que $$ \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k} = 1 $$ si $n$ es un infinito número entero y $k$ es un número finito de enteros.

Luego en los comentarios debajo de la pregunta, me escribió:

\begin{align}\sin(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \epsilon + \cdots) & = \underbrace{\sin\alpha}\;\underbrace{\cos\beta\cos\gamma\cos\delta\cos\epsilon \cdots} + \text{more terms with just one sine} \\ & = {} -\underbrace{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}\;\underbrace{\cos\delta\cos\epsilon \cdots} {} + \text{other terms with three sines} \\ & = {} + \text{terms with five sines, etc.} \end{align}

. . . y en más comentarios:

Ahora imagine que en un término de tres senos y el resto de los cosenos: \begin{align} & = \binom{n}{3}\sin\left(\left(\frac \theta n \right)^3\right) \cos\left(\left(\frac\theta n \right)^{n-3}\right) \\[6pt] & = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\left(\frac{\theta}{n}\right)^3 = \frac{\theta^3} 6 \end{align}