Evaluar:
$$\lim_{x\to{0}}\bigg(\frac{2}{x^3}.(\arcsin{x}-\arctan{x})\bigg)^{2/x^2}$$
Sólo puedo expandir $\arcsin{x}$ $\arctan{x}$ el uso de sus expansiones de taylor, pero ¿hay algún otro método?
Respuestas
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Aquí es un enfoque que se basa en identidades trigonométricas y ciertos límites estándar. El enfoque implica una cierta cantidad de trabajo en álgebra y debe ser usada solamente cuando más poderosas herramientas como la serie de Taylor o de L'Hospital de la Regla están prohibidos. Por otro lado, se demuestra que el simple uso de herramientas puede ser utilizado para hacer frente a problemas difíciles, si uno la usa correctamente.
Deje $t=\arcsin x$, de modo que $x=\sin t$ y, a continuación,$\tan t=x(1-x^2)^{-1/2}$, de modo que $t=\arctan x(1-x^2)^{-1/2}$ y por lo tanto la expresión $\arcsin x-\arctan x$ puede ser escrito como $$\arctan\frac{x} {\sqrt{1-x^2}}-\arctan x=\arctan\dfrac{x(1-\sqrt{1-x^2})}{x^2+\sqrt{1-x^2}} $$ which can be simplified as $$\arctan\frac{x^3}{(x^2+\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}=\arctan u\text{ (say)} $$ where $u/x^3\a 1/2$ and further $$\frac{2u}{x^3}-1=\frac{1-(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}{(x^2+\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}$$ which can be written as $$\frac{-x^2+x^4+x^6}{(x^2+\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})(1+(1+x^2)\sqrt{1-x^2})}$$ and thus $$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\left(\frac{2u}{x^3}-1\right)=-\frac{1}{4}\tag{1}$$ If $L$ is the desired limit in question and $f(x) $ es la función cuyo límite debe ser evaluado, a continuación, \begin{align} \log L&=\log\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\log f(x)\text{ (via continuity of log)} \notag\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x^2}\log\left(\frac{2\arctan u} {x^3}\right)\notag\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x^2}\cdot\dfrac{\log\left(1+\dfrac{2\arctan u-x^3}{x^3}\right)}{\dfrac{2\arctan u-x^3}{x^3}}\cdot\frac{2\arctan u-x^3}{x^3}\notag\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x^2}\cdot\frac{2\arctan u-x^3}{x^3}\notag\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{4\arctan u-4u}{x^5}+\frac{4u-2x^3}{x^5}\notag\\ &=\lim_{x\to 0}4\cdot\frac{\arctan u-u} {u^2}\cdot\frac{u^2}{x^6}\cdot x-\frac{1}{2}\text{ (via equation (1))}\notag\\ &=-\frac{1}{2}\notag\end{align} El deseado límite de $L$ es lo $1/\sqrt{e}$. Hemos utilizado el límite $$\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x} {x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\tan x} {x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x} {x^2}=0$$ which can be proved without Taylor series or L'Hospital's Rule. Also note that the factor $u^2/x^6=(u/x^3)^2\a (1/2)^2=1/4$.
egreg
Puntos
64348
De https://math.stackexchange.com/a/198337/62967 tenemos $$ \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) $$ y sabemos que $$ \arctan x = x -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5) $$ Por lo tanto $$ \frac{2(\arcsin x-\arctan x)}{x^3}=1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2) $$ El logaritmo de la función que por lo tanto puede ser escrito como $$ \frac{2}{x^2}\log\left(1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)\right) = \frac{2}{x^2}\left(-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)\right)=-\frac{1}{2}+o(1) $$ Se puede terminar?
No veo a ningún otro método práctico.
