Axiomas de Peano: ¿3 o 5 axiomas?

Question

Los axiomas de Peano son normalmente se declaró de la siguiente manera:

1. El cero es un número.

2. Si a es un número, el sucesor de a es un número.

3. El cero no es el sucesor de un número.

4. Dos números cuyos sucesores son iguales son a su vez iguales.

5. (axioma de inducción.) Si un conjunto S de números contiene el cero y también el sucesor de todo número en S, entonces todo número está en S.

Se puede formalizar la aritmética de Peano como una teoría de sentencias de segundo orden sobre la firma $\{0, s\}$ simplemente formalizando los axiomas 3 a 5. Entonces, ¿son realmente 1 y 2 axiomas ¿o son sólo declaraciones de tipo?

Answer 1

El documento original de Peano tenía nueve axiomas, en realidad. Incluyó axiomas como "para cada número $x,$ $x = x$ ". En aquella época (1889) no existía ningún sistema de lógica bien establecido, por lo que Peano partía, esencialmente, de la nada.

Hoy en día, las propiedades de la igualdad y el hecho de que los símbolos de las funciones sean interpretados por funciones totales se toman como parte de la "lógica" subyacente, aparte de la "teoría" que se estudia. Así que los axiomas 1 y 2 no son necesarios como axiomas. Sin embargo, sí son necesarios para enunciar la firma de la teoría. Así, si se omiten los axiomas 1 y 2, seguiría siendo necesario decir que esa teoría tiene un símbolo constante $0$ y un símbolo de función unario $s$ .

Answer 2

Tienes razón, en el formalismo de la lógica de segundo orden los dos primeros "axiomas" son realmente la firma.

Por supuesto, puede haber (por lo que sé) otros formalismos en los que esta forma de escribirlos tenga sentido.