Notación utilizada para definir un espacio de probabilidad

Question

"Vamos a $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ ser un espacio de probabilidad..." es una frase típica encontrada en publicaciones científicas. Hay un par de preguntas con respecto a esta notación.

1. En primer lugar, acerca de la probabilidad de medida $\mathcal{P}: \Omega \to [0, 1]$. Mi confusión viene del hecho de que, después de una introducción, los autores suelen comenzar a operar en diferentes variables aleatorias, que tienen algunos en particular las funciones de distribución de decir $X_i(\omega) \sim \Phi_{X_i}(x)$. $\Phi_{X_i}(x)$, $\forall i$, parece (a mí) a ser relacionados con las diferentes medidas de probabilidad, que no puede ser cubierto por un solo uno, $\mathcal{P}$. Por lo tanto, para cada una de las $X_i(\omega)$ me sería de esperar de una a definir por separado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}_i)$ tal que $F_{X_i}(x) = \mathcal{P}_i(X_i(\omega) \leq x)$. Sin embargo, no veo nada como esto. Hay, probabily, un malentendido por mi parte.

2. Segundo, sobre el espacio correspondiente de cuadrado integrable variables aleatorias. Generalmente, se denota por a $L^2(\dots)$ con diferentes variaciones de lo que es en los soportes. Supongo que "el cuadrado integrable" tiene poco sentido sin una medida; por lo tanto, debe tener al menos $L^2(\Omega, \mathcal{P})$, pero bastante a menudo uno se puede encontrar apenas a $L^2(\Omega)$.

Puede alguien por favor comentar sobre esto? Gracias.

Saludos, Ivan

Answer 1

1. En realidad $\mathcal{P}$ es un mapa de $\mathcal{F} \to [0,1]$, no $\Omega \to [0,1]$, y si $X : \Omega \to \mathbb{R}$ es una variable aleatoria, a continuación, $\mathcal{P}(X \le x)$ es en realidad un "abuso de notación musical" se utiliza para significar $$\mathcal{P}(X \le x) := \mathcal{P}( \left\{ \omega \in \Omega\, :\, X(\omega) \le x \right\} ) = \mathcal{P} \circ X^{-1}((-\infty, x])$$ y por lo $\mathcal{P}$ no depende de la distribución de $X$. [Observe que $(-\infty, x]$ es Borel medible subconjunto de $\mathbb{R}$, lo $X^{-1}((-\infty, x])$ $\mathcal{P}$- medible (es decir, que se encuentra en $\mathcal{F}$), por lo que la expresión tiene sentido.]

2. Cuadrado integrable funciones se definen a través de una probabilidad (o medida) de espacio, por lo que en realidad es $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$, aunque a veces $L^2(\Omega)$ o $L^2(\mathcal{P})$, o incluso el $L^2$, se utilizan como shorthands cuando los otros parámetros se entiende en el contexto.