ayuda de la necesidad de probar un intervalo de

Question

Estoy tratando de prueba $$\frac {1} {ek} \le \frac {1}{k} (1 - \frac {1}{k} )^{k-1} \le \frac {1}{2k} $$ para k>=2

para probar esto yo primero se multiplica por k llegar

$$\frac {1} {e} \le \left(1 - \frac {1}{k} \right)^{k-1} \le \frac {1}{2} $$

a continuación, el caso de uso $k=2$ como caso base

$$\frac {1} {e} <= \frac {1}{2} <= \frac {1}{2} $$

lo que es bueno, luego asumió la

$$\frac {1} {e} <= (1 - \frac {1}{k} )^{k-1} <= \frac {1}{2} $$

para ser cierto para cualquier k>2 y tratan de probar para k+1 así que me sustitute k+1 k llegar

$$\frac {1} {e} <= (1 - \frac {1}{k+1} )^{k} <= \frac {1}{2} $$

lo que equivale a

$$\frac {1} {e} <= (\frac {k}{k+1} )^{k} <= \frac {1}{2} $$

así que estoy tratando de conseguir $$ (\frac {k}{k+1} )^{k} $$ a cualquiera de las fórmulas originales para finalizar la prueba, pero he sido unsuccesful. He dedicado un montón de tiempo y no veo la solución, si alguien la tiene gracias en aadvance.

si usted ve cualquier otra opción que es fácil de probar esta pls quiero saber porque no tengo que hacerlo por inducción

Answer 1

El uso de la conocida desigualdad demostrado aquí: http://math.stackexchange.com/a/1161287/148510.

Para $0 < x < 1$,

$$1-x \leqslant -\ln x \leqslant \frac{1-x}{x}.$$

A continuación, con $x = 1-1/k$, tenemos

$$\ln(1 -1/k) \geqslant \frac{-\frac1{k}}{1-\frac1{k}}=\frac{-1}{k-1}.$$

Por lo tanto,

$$(k-1)\ln(1 -1/k) \geqslant -1 \implies \left(1 - \frac1{k}\right)^{k-1}\geqslant e^{-1}.$$

Para la otra desigualdad, una aplicación de la desigualdad de Bernoulli rendimientos

$$\left(\frac{k}{k-1}\right)^{k-1} = \left(1+\frac{1}{k-1}\right)^{k-1}\geqslant 1 + \frac{k-1}{k-1}= 2.$$

Por lo tanto,

$$\left(1 - \frac1{k}\right)^{k-1} = \left(\frac{k-1}{k}\right)^{k-1} = \left(\frac{k}{k-1}\right)^{-(k-1)} \leqslant \frac1{2}.$$