Soluciones de $\cos(ax)+\cos(bx)+\cos(cx)=0$

Question

Estos son fáciles de resolver: $$\cos(ax)=0,\qquad \cos(ax)+\cos(bx)=0$$ Cualquier penetración en $$\cos(ax)+\cos(bx)+\cos(cx)=0$$ No se puede encontrar ninguna información en la web acerca de esta última. Sé que soluciones puede ser aproximado a través de la serie, pero estoy interesado en el exacto casos o más información acerca de la triple soluciones exactas a las identidades como la pasada.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero creo que consigue la mayoría de la manera allí.

El primer paso sería la de ampliar los cosenos de la siguiente manera:

$$ \cos(ax) = \cos([(a+c) - c]x)\\ \cos(bx) = \cos([(b+c) - c]x)\\ \cos(cx) = \cos(cx) $$

Con el uso liberal de la trigonométricas del ángulo de fórmulas, $\cos(ax) + \cos(bx) + \cos(cx)$ se convierte en $$ \cos((a+c)x)\cos(cx) + \sin((a+c)x)\sin(cx) + \\ \cos((b+c)x)\cos(cx) + \sin((b+c)x)\sin(cx) + \\ \cos(cx) $$ Factoring va a convertir esto en $$ \cos(cx)[\cos((a+c)x) + \cos((b+c)x) + 1] + \sin(cx)[\sin((a+c)x) + \sin((b+c)x)] $$

Para averiguar donde esta es cero, podemos considerar el caso donde el 2 mitades son simultáneamente cero. Averiguar donde ambas mitades son cero, pero se cancelan uno al otro es un dolor de cabeza que no quiero tratar.

Así, podemos considerar los siguientes 3 casos para obtener algunas de las soluciones:

1) $\cos(cx) = 0$ $\sin((a+c)x) + \sin((b+c)x) = 0$

o

2) $\sin(cx) = 0$ $\cos((a+c)x) + \cos((b+c)x) = -1$

o

3) $\sin((a+c)x) + \sin((b+c)x) = 0$ $\cos((a+c)x) + \cos((b+c)x) = 0$

En este punto estamos realmente haciendo álgebra. Para (1), me sale

$x = \frac{(\pi/2 + n\pi)}{c}$ $\cos(ax) + \cos(bx) = 0$.

Así

$$ \cos(\frac{a}{c}(\pi/2 + n\pi)) + \cos(\frac{b}{c}(\pi/2 + n\pi)) = 0 $$

Esto funciona solamente para ciertos valores de $a, b, c$. Los valores que se deja como ejercicio para el lector.

Del mismo modo, para (2), I se $x = n\pi/c$ y $$ \cos(cx)[\cos(ax) + \cos(bx)] = -1 $$ De nuevo, sólo ciertos valores de $a,b,c$ dará lugar a soluciones

Para (3), voy a omitir los detalles pero me da que $$ x = \frac{4\pi}{3(a+c)} = \frac{5\pi}{3(b+c)} $$ lo que implica también que una respuesta para este escenario existe sólo si $$ \frac{5}{4} = \frac{a+c}{b+c}. $$

La expansión de alrededor de $c$ fue una elección arbitraria. Usted puede utilizar el mismo método en $a$ o $b$ para obtener el mismo soluciones en términos de estas variables.