Grupo de finalización teorema de

Question

Deje $M$ ser un topológico monoid. ¿Cómo funciona la homología de formulación del grupo de finalización teorema, es decir, (ver McDuff, Segal: Homología Fibrations y el Grupo de la "Finalización" Teorema)

Si $\pi_0$ se encuentra en el centro de la $H_*(M)$ $H_*(M)[\pi_0^{-1}]\cong H_*(\Omega BM)$

implica que $M\to \Omega BM$ es un débil homotopy de equivalencia si $\pi_0(M)$ ya es un grupo? No veo la conexión a la homología. Puede uno probar la última (y tal vez más débil) declaración más fácilmente que la de todo el grupo de finalización teorema?

Un grupo topológico de finalización de la $G(M)$ $M$ debe transformar la monoid $\pi_0(M)$ en su (algebraicas estándar) grupo de finalización. Pero un espacio con esta propiedad no es única. ¿Por qué es $\Omega BM$ la opción "correcta"? Tal vez esto es claro cuando veo la conexión a la homología de la formulación anterior.

Answer 1

Bueno, si $\pi_0=\pi_0(M)$ ya es un grupo, entonces la $H_*(M)\approx H_*(M)[\pi_0^{-1}]$. Por lo $M$ $\Omega B M$ tienen la misma homología en este caso. Esto no es suficiente por sí sola, pero si puede producir un mapa de $M\to \Omega BM$, lo que induce esta homología isomorfismo, entonces el resultado sigue usando el teorema de Hurewicz.

Lo McDuff-Segal realmente hacen es mostrar que si $M$ es topológico, monoid que actúa en un espacio de $X$, de tal manera que todos los $m\in M$ induce una homología de equivalencia $x\mapsto mx\colon X\to X$, entonces se puede producir una "homología fibration" $f:X_M\to BM$ con fibra de $X$. "Homología fibration" significa que las fibras de $f$ de homología, el equivalente a la homotopy fibras de $f$.

Si $\pi_0M$ es un grupo abelian, usted puede encontrar una $X$ tal que $X_M$ es contráctiles, y la fibra de $f:X_M\to BM$$X$. Esto le da a la homología de equivalencia que quieras, ya que el homotopy fibras de $f$ parecerse a $\Omega BM$.

Echa un vistazo a McDuff y Segal del papel, es bueno. También hay un tratamiento en términos de simplicial establece en Goerss-Jardine, *Simplicial Homotopy Teoría".

Añadido: El functor $M\mapsto \Omega BM$ es el "total de derivados functor de grupo de finalización". La única explicación convincente de por qué esto es así (que yo sepa) es en Dwyer-Kan, Simplicial Localizaciones de las Categorías, la JPAA (17) 267-283. A pesar de trabajar simplicially, y trabajar de forma más general (con categorías en lugar de monoids), muestran que de $M$ es un cofibrant simplicial monoid, entonces el simplicial monoid $M[M^{-1}]$ es débilmente equivalente al espacio de $\Omega |BM|$.

Answer 2

La declaración de que $M \to \Omega BM$ es un débil equivalencia al $M$ es un grupo: como topológica monoid es de hecho más fácil: el mapa de $EM = B(M \wr M) \to BM$, entonces es un cuasi-fibration, ha geométrico de la fibra $M$ sobre el punto de base y homotopy de fibra de $\Omega BM$.

Sin embargo, el homológica grupo de finalización teorema implica también esto: si $M$ es grupo-como, a continuación, $\pi_0(M)$ ya se compone de unidades en $H_*(M)$, tan sólo dice que $M \to \Omega BM$ es una homología de equivalencia. Cada uno de estos espacios ha homotopy equivalente componentes de la ruta, por lo que es suficiente para observar que el mapa de 0 de componentes es una homología de la equivalencia entre los espacios simples, por lo que una débil homotopy de equivalencia.

Sin embargo es perverso para demostrar la "$M \simeq \Omega BM$" resultado de esta manera.