Si $u$ es armónico y acotados en $0 < |z| < \rho$, muestran que el origen es una singularidad removible

Question

Esta es una reelaboración de una pregunta anterior aquí que fue marcado como un duplicado. Algunas buenas personas se han referido a mí soluciones a problemas similares. Todavía tengo un par de preguntas, ya que una de las soluciones utilizadas en el núcleo de Poisson, que no es la solución deseada en el texto, debido a que el núcleo de Poisson no ha sido introducida todavía. Las otras soluciones fueron para los problemas que se fueron similares, pero cuyas soluciones fueron sólo parcialmente aplicable, tal como yo las entiendo.

Estoy trabajando en un problema de la p. 166 de Lars Ahlfors' Análisis Complejo:

Si $u$ es armónico y acotados en $0 < |z| < \rho$, muestran que el origen es una singularidad removible en el sentido de que $u$ se convierte armónico en $|z|<\rho$ al $u(0)$ está bien definido.

Mi Solución:

Aquí es lo que tengo para un no-Poisson núcleo de la solución: queremos encontrar una armónica conjugada para $u$ en el perforado de disco, y luego podemos aplicar grande de Picard para mostrar que $0$ es una singularidad removible. El problema es que el disco perforado no es simplemente conectado.

Si tomamos $\sigma = (u \circ \exp)(z): L \to \mathbb{C}$ donde $L$ es la mitad izquierda del plano -, ahora tenemos a $\sigma$ armónica, y se define en un conjunto conectado a $L$, por lo que tiene una armónica conjugada $\tau$. Ahora queremos aprovechar $v = (\tau \circ \log):\{0 < |z| < \rho\}\to \mathbb{C}$, pero para ello necesitamos $\tau$ $2\pi i$- periódico. Esto es donde la prueba se rompe.

Uno de los problemas similares a los que los lectores me refirió a utilizar la siguiente estrategia: tenga en cuenta que desde $\sigma$ $2\pi i$- periódico y $\sigma, \tau$ satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones, tenemos que $\nabla\tau(z) = \nabla\tau(z + 2 \pi i)$ todos los $z\in L$, o en otras palabras, $\tau(z) - \tau(z+2\pi i)$ es una función constante, digamos, igual a $\alpha \in \mathbb{R}$. Entonces, la solución que se sugiere, se puede establecer el $$g(z) = u + iv - \frac{c}{2\pi}z,$$

con el fin de hacer $g$ $2\pi i$-periódico, y entonces podemos usar $(g\circ \log)$$\{0 < |z| < \rho\}$. Pero la razón por la que esto no funciona para mis propósitos es: ahora que hemos cambiado $u$! Por otro lado, simplemente no podemos restar $\frac{c}{2\pi}\Im{(z)}$, y tratar de salir de $u$ virgen, porque ahora $g$ no es analítica. ¿Cómo podemos obtener de todo esto?

Otra estrategia totalmente podría ser el intento de utilizar la media del valor de la propiedad. Ahlfors discute que un montón en la sección anterior, y su principal ejemplo es el disco perforado. Desde $u$ es armónico, sabemos que la media de los círculos con centro en cero es una constante...

Answer 1

Aquí está la prueba basada en el contenido del libro hasta que punto:

Teorema 20 en el texto se afirma que para $0<r<1$ $$\frac{1}{2 \pi} \oint_{|z|=r} u\, \mathrm{d} \theta=\alpha \log r+\beta $$ Donde $\alpha=\oint_{|z|=r} r \frac{\partial u}{\partial r} \, \mathrm{d} \theta=\oint_{|z|=r}*\mathrm{d}u$. ($*\mathrm{d}u=-\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d} x+ \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d} y$ es el conjugado diferencial.)

Tomemos $r \to 0^+$ en el teorema: desde $u$ está delimitada de la integral de la izquierda tiende a cero, y por lo tanto el $\log$ plazo debe tener el coeficiente de cero. De modo que $\oint_\gamma *\mathrm{d} u$ es cero para cada círculo con un radio de $0<r<1$. $|z|=\frac{1}{2}$ es un círculo, y de hecho es una homología de base para el perforado de disco. Por lo tanto la integral de la $\oint_\gamma * \mathrm{d}u$ se desvanece para cada ciclo de $\gamma$ en el perforado de disco, y podemos definir una armónica conjugada $v$ no.

La función de $f=u+iv$ es analítica en el disco perforado, y se ha acotado parte real alrededor de $z=0$. De acuerdo con el ejercicio 5 en la página 130 encontramos que la singularidad en $0$ es extraíble, por lo que podemos extender $f$ a una analítica de la función en todo el disco, y $u$ se extiende armónicamente de esa manera.