¿Qué función cumple $x^2 f(x) + f(1-x) = 2x-x^4$?

Question

¿Qué función cumple $x^2 f(x) + f(1-x) = 2x-x^4$? Estoy especialmente curioso si no es a la vez una expresión algebraica y el cálculo basado en la derivación de la solución.

Answer 1

Partimos de $$x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4.$$ Reemplace$x$$1-x$. A continuación, $1-x$ se sustituye por $x$. Así $$(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4.$$ Dos ecuaciones lineales en dos incógnitas, $f(x)$$f(1-x)$. Resolver para $f(x)$.

Answer 2

Dado, $x^2f(x)+f(1−x)=2x−x^4$

$f(-1) = 0$

$f(0) = 1$

$f(1) = 0$

$f(2) = -3$

$f(3) = - 8$

$f(4) = -15$

Mediante una cuidadosa observación, uno puede ver que la diferencia entre los términos se desvanece después de la segunda etapa

es decir, $f(x)$ es de la forma $a{x^2} + b{x} +c$

es decir,$f(x) = a{x^2} + b{x} + c$ \begin{align*} k^3&=(k)k^2\\ &>9k^2\\ &=3k^2+3k^2+3k^2\\ &=3k^2+3(k)k+3(k)^2\\ &>3k^2+3(9)k+3(9)^2\\ &=3k^2+27k+243\\ &>3k^2+3k+1\\ \end--(1)

es decir, $f(0) = c = 1$

es decir,$c = 1$ -------(2)

$f(1) = a + b + c = 0$

es decir, $f(1) = a + b + 1= 0$

es decir,$a + b = -1$ -------(3)

$f(2) = 4a + 2b + c = -3$

es decir, $4a + 2b + 1 = -3$

es decir, $4a + 2b = -2$

es decir,$2a + b = -2$ -------(4)

Resolver ecuaciones $(3)$ $(4)$ conseguir $a = -1$ $b = 0$

es decir, $f(x) = {-1}{x^2} + {0}{x} + 1$

es decir, $f(x) = {-x^2} + 1$

Answer 3

Otro, más mecánica enfoque: en Primer lugar, sólo por contar grados es claro que cualquier polinomio solución de $f$ debe ser cuadrática, por lo que podemos escribir $f(x)=ax^2+bx+c$. Lo que es más, enchufar $x=0$ da $0^2\cdot f(0)+f(1) = 2\cdot0-0^4$ o $f(1)=0$, y de conectar $x=1$ da $1^2\cdot f(1)+f(0) = 2\cdot1-1^4$ o $f(0) = 1$, por lo que sabemos que $c=1$ $a+b+c=0$ o $b=-(1+a)$. El uso de estos, podemos reescribir la ecuación cuadrática como $f(x) = ax^2-(a+1)x+1$. Ahora, es obvio que $x^2f(x) = ax^4+\mathrm{smaller\ terms}$, e $f(1-x)$ también será sólo cuadrática — así que por el lado izquierdo de la igualdad de $2x-x^4$,$a=-1$$f(x)=1-x^2$; todo lo que queda es para calcular el lado izquierdo en su totalidad y ver que resuelve la ecuación. Tenga en cuenta que este enfoque no es prueba de que ese $f$ es único, sólo que existe y de que es única entre el polinomio de soluciones que necesita uno de los otros enfoques para mostrar que esta es la única función que funciona.

Answer 4

Como ya he comentado, se puede aprovechar la simetría.

$$\eqalign{ y f(1 - x) + {x^2}f(x) = 2x - {x^4} \cr y f(x) + {\left( {1 - x} \right)^2}f(1 - x) = 2\left( {1 - x} \right) - {\left( {1 - x} \right)^4} \cr} $$

Ahora puedes disfrutar de

$$\eqalign{ y f(1 - x) + {x^2}f(x) = 2x - {x^4} \cr y f(1 - x) = \frac{{2\left( {1 - x} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^4} - f\left( x \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} \cr} $$

Así que todo lo que tiene que hacer es resolver para $f(x)$ en

$$2x - {x^4} - {x^2}f(x) = \frac{{2\left( {1 - x} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^4} - f\left( x \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$$

Answer 5

$f(x)=1-x^2$ insertando que da:

$$ \begin{eqnarray} x^2 f(x) + f(1-x) &=&x^2(1-x^2) + (1 - (1-x)^2)\\ &=&x^2-x^4 +(1-(1-2x+x^2))\\ &=&x^2-x^4 +(1-1+2x-x^2)\\ &=&x^2-x^4+2x-x^2 \\ &=& 2x -x^4 \end{eqnarray} $$ como se requiere. Pero admito: yo tenía algo de ayuda...

Pero también se puede escribir como

$$ x^4+f(x) x^2 -2x-f(1-x)=0 $$ y tratar de resolver el deprimido ecuación de cuarto grado...